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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:24 So 12.03.2006 | | Autor: | joma |
| Aufgabe | | sei [mm] s\in \IR. [/mm] die doppelreihe [mm] \summe_{m,n=1}^{ \infty} 1/(m^{s}+n^{s}) [/mm] konvergiert für s>2 und divergiert für [mm] s\le2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
kann mir jemand eine starthilfe zum Lösen dieser Aufgabe geben?
herzlichen dank
joma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
> sei [mm]s\in \IR.[/mm] die doppelreihe [mm]\summe_{m,n=1}^{ \infty} 1/(m^{s}+n^{s})[/mm]
> konvergiert für s>2 und divergiert für [mm]s\le2[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo
> kann mir jemand eine starthilfe zum Lösen dieser Aufgabe
> geben?
Zur Divergenz: Bezeichne die Reihe zu $s$ mit [mm] $R_s$. [/mm] Ist $s [mm] \le [/mm] s'$ und diviergiert die Reihe [mm] $R_{s'}$, [/mm] dann divergiert auch die Reihe [mm] $R_s$, [/mm] da [mm] $x^s [/mm] + [mm] y^s \le x^{s'} [/mm] + [mm] y^{s'}$, [/mm] $x, y [mm] \ge [/mm] 1$, und somit [mm] $\frac{1}{x^{s'} + y^{s'}} \ge \frac{1}{x^s + y^s}$ [/mm] ist (Majorantenkritierium). Also reicht es zu zeigen, dass [mm] $R_2$ [/mm] divergiert, damit [mm] $R_s$ [/mm] fuer alle $s [mm] \le [/mm] 2$ divergiert.
Fuer $s = 2$ kannst du jetzt [mm] $\frac{1}{x^2 + y^2} \ge \frac{1}{(x + y)^2}$ [/mm] abschaetzen; wenn du zeigst, dass [mm] $\sum_{x,y=1}^\infty \frac{1}{(x + y)^2}$ [/mm] divergiert, so auch [mm] $R_2$ [/mm] und somit [mm] $R_s$ [/mm] fuer $s [mm] \le [/mm] 2$.
Um zu zeigen, dass [mm] $\sum_{x,y=1}^\infty \frac{1}{(x + y)^2}$ [/mm] divergiert, schreib am besten $k = x + y$ und ordne die Reihe passend um. Sag Bescheid wenn du nicht weiterkommst.
Zur Konvergenz von [mm] $R_s$, [/mm] $s > 2$ hab ich grad keine Idee.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Di 14.03.2006 | | Autor: | joma |
Dankeschön für die Bearbeitung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mi 15.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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