Doppelreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:17 So 10.05.2009 | | Autor: | Dr.Sway |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}*z^{n} [/mm] mit [mm] a_{n} \in \IC [/mm] und [mm] a_{0} [/mm] = 1 eine Potenzreihe, so dass [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \left| a \right| [/mm] < 1.
(a) Beweise, dass es eine kpl. Folge [mm] (b_{n})_n\in\IN [/mm] gibt, s.d.
[mm] g(z):=\bruch{1}{f(z)}= \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n} [/mm] für alle [mm] z\in \IC [/mm] mit [mm] \left| z\right|<1
[/mm]
|
Hallo,
Zuerst noch den Hinweis:
Schreiben Sie f(z)=1-(1-f(z)) und entwicklen den Ausdruck in deine geometrische Reihe und verwenden Sie das CauchyProdukt für Reihen sowie den Doppelreihensatz.
Gut. das habe ich mal versucht und bin soweit gekommen:
[mm] f(z)=1-(1-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}*z^{n}) [/mm]
da wir wissen dass [mm] \left|z\right|<1 [/mm] ist können wir [mm] z^{n} [/mm] in [mm] \bruch{1}{q^{n}} [/mm] umschreiben
[mm] f(z)=1-(1-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}*\bruch{1}{q^{n}}) [/mm]
nun wende ich noch an dass [mm] a_{0}=1 [/mm] ist
[mm] f(z)=1-(1-\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}*\bruch{1}{q^{n}}+1\right))
[/mm]
[mm] f(z)=1-(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}*\bruch{1}{q^{n}}) [/mm]
So, nun meine Frage. Ist mein Ansatz schon mal richtig?
Ich komm irgendwie nicht weiter.
Mag mir eine(r) einen Tipp geben?
Hab noch was "anderes" ausprobiert:
[mm] \bruch{1}{f(x)}=\bruch{1}{1-(1-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}*z^{n}) }=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1-(-\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}) }=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
wenn man [mm] nun\left( -\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}\right) [/mm] =:x betrachtet kann man die geometrische reihe "sehen"
Weiß jetzt aber nicht wie ich das mit der summe anstellen soll
[mm] =\sum_{m=1}^{\infty}\left(-\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}\right)^{m}
[/mm]
gruß, sabrina
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
