Doppelsumme eines Binomialkoef < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Memento |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=0}^{m}\summe_{j=0}^{m}{k \choose j}
[/mm]
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Man soll den obestehenden Ausdruck ohne Summenzeichen anschreiben, wie man so eine Summe einfach als Aufzaehlung hinschriebt ist mir schon klar, jedoch hab ich die Vermutung das es sich hier um eine ganz einfache geometrische Reihe handelt. Wie kommt man zu dem Ergebnis?
Sollte da nicht soetwas wie 2^(m+1)-1 rauskommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Fr 30.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \summe_{k=0}^{m}\summe_{j=0}^{m}{k \choose j}=\summe_{k=0}^{m}\left(\summe_{j=0}^{k}{k \choose j}+\summe_{j=k+1}^{m}{k \choose j}\right)
[/mm]
weil [mm] {k\choose j} [/mm] = 0 für j>k. Daraus folgt
[mm] \summe_{k=0}^{m}\summe_{j=0}^{m}{k \choose j}=\summe_{k=0}^{m}\summe_{j=0}^{k}{k \choose j}=\summe_{k=0}^{m}2^k=\br{2^{m+1}-1}{2-1}=2^{m+1}-1
[/mm]
Letzteres gilt wegen der Geometrischen Reihe
mfg ullim
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