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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Doppelsumme:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (i+j)^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab bisher einmal eine Art Matrix aufgestellt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (i+j)^2 [/mm] =
[mm] (1+1)^2+(1+2)^2+...+(1+n)^2
[/mm]
[mm] (2+1)^2+(2+2)^2+...+(2+n)^2
[/mm]
...
[mm] (n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+n)^2
[/mm]
Jetzt ist mir aufgefallen, dass der Ausdruck in der Klammern in den Diagonalen von links unten nach rechts oben immer derselbe ist, also z.b. in der 3. Reihe: [mm] (3+1)^2+(2+2)^2+(1+3)^2=3*4^2=48
[/mm]
Sieht dann ungefähr so aus, wenn ich mich nicht irre:
[mm] 1*(2^2+(2n)^2)+2*(3^2+(2n-1)^2)+...+(n-1)*(n^2+(n+2)^2)+n*(n+1)^2
[/mm]
Ist das jetzt schon die gesuchte Lösung? Kann ich das eleganter formulieren oder irgendwie weiter vereinfachen?
Bitte um Eure Hilfe
Das ist das einzige Beispiele aus meiner Hausübung, das ich nicht lösen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Do 22.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moinmokeyhead,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (i+j)^2= \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (i^2+2ij+j^2 )=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} i^2+2\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}ij+\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}j^2=\summe_{j=1}^{n} i^2+2\summe_{i=1}^{n} i\summe_{j=1}^{n}j+\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}j^2$.
[/mm]
Was weisst du ueber [mm] $\summe_{j=1}^{n}j$ [/mm] bzw. [mm] $\summe_{j=1}^{n}j^2$?
[/mm]
vg Luis
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Warum kann ich [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} i^2+2\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}ij+\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}j^2
[/mm]
zu [mm] \summe_{j=1}^{n} i^2+2\summe_{i=1}^{n} i\summe_{j=1}^{n}j+\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}j^2 [/mm] zusammenfassen. Wieso kann ich bei [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} i^2 [/mm] und [mm] 2\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}ij [/mm] die Doppelsumme auflösen und bei [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}j^2 [/mm] nicht?
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> Was weisst du ueber [mm]\summe_{j=1}^{n}j[/mm] bzw.
> [mm]\summe_{j=1}^{n}j^2[/mm]?
$ [mm] \summe_{j=1}^{n}j [/mm] = (n+1)*n/2$
bzw. $ [mm] \summe_{j=1}^{n}j^2 [/mm] $ [mm] (n^2+2n+1)*n^2/4
[/mm]
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lg
monkeyhead
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Aja noch was: Ist [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} i^2 [/mm] nicht [mm] $\summe_{i=1}^{n} n*i^2$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Fr 23.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aja noch was: Ist [mm]\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} i^2[/mm]
> nicht [mm]\summe_{i=1}^{n} n*i^2[/mm]?
Richtig, also [mm] $n\summe_{i=1}^{n}i^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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> > bzw. [mm]\summe_{j=1}^{n}j^2[/mm]
> > [mm](n^2+2n+1)*n^2/4[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Du kannst doch das erste Ergebnis nicht einfach quadrieren,
> Das wäre ja, wie wenn du schreibst [mm]a^2+b^2 = (a+b)^2[/mm]!
Bin auch grad draufgekommen beim rechnen am papier, dass das ein ziemlicher blödsinn war.
> [mm]\summe_{j=1}^{n}j^2 = n(n+1)(n+2)/6[/mm]
Auf die Gleichung wär ich nicht gekommen :O (das ist überhaupt nicht sarkastisch gemeint, falls das jetzt irgendwie so rüber kommen sollte!!!)
Hab sie grad versucht induktiv zu beweisen, allerdings scheint da was nicht zu stimmen. Hab aber nach ein bisschen Suchen diese Formel gefunden:
[mm] \summe_{j=1}^{n}j^2 [/mm] = n(n+1)(2n+1)/6
und induktiv hat's diesmal auch gepasst.
Hab auch schon eine Herleitung gefunden.
Hab die Gleichung jetzt aufgelöst und mir kommt folgendes raus:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (i+j)^2 [/mm] = [mm] \bruch{7n^4+12n^3+5n^2}{6}
[/mm]
Für n=1,2 und 3 hat's gepasst. Stimmt mein Ergebnis aber für alle n? Sieht doch sehr eigentümlich aus, was da rauskommt.
Wenn das Ergebnis stimmt, dann liefert mir die Gleichung [mm] 7n^4+12n^3+5n^2 [/mm] nur durch 6 Teilbare Zahlen. Wie kann ich das aber beweisen?
Tut mir leid, ich schweif da vom eigentlichen Thema ab. Ich find's halt doch faszinierend...
PS: Danke für die raschen informative Antworten :D Hoffe es ist noch jemand auf, der mir die Frage beantworten kann.
lg
monkeyhead
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Hallo monkeyhead,
ich bin zwar noch auf, aber nicht mehr wach. 
> [mm]\summe_{j=1}^{n}j^2[/mm] = n(n+1)(2n+1)/6
> und induktiv hat's diesmal auch gepasst.
> Hab auch schon eine Herleitung gefunden.
Ja, so stimmt's.
> Hab die Gleichung jetzt aufgelöst und mir kommt folgendes
> raus:
> $ [mm]\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (i+j)^2[/mm] =
> [mm]\bruch{7n^4+12n^3+5n^2}{6}[/mm]
> Für n=1,2 und 3 hat's gepasst. Stimmt mein Ergebnis aber
> für alle n? Sieht doch sehr eigentümlich aus, was da
> rauskommt.
Dein Ergebnis ist richtig. Gut gemacht!
> Wenn das Ergebnis stimmt, dann liefert mir die Gleichung
> [mm]7n^4+12n^3+5n^2[/mm] nur durch 6 Teilbare Zahlen. Wie kann ich
> das aber beweisen?
Musst Du nicht, wenn Du per Induktion zeigen kannst, dass Dein Ergebnis stimmt, bzw. Deine Summenumformungen alle richtig waren - und das müssen sie ja sein, sonst hättest Du nicht das richtige Ergebnis.
Ansonsten geht das mit einer Restklassenuntersuchung:
[mm] 7n^4+12n^3+5n^2=n^2(7n^2+12n+5)\equiv n^2(n^2-1) \mod{6}
[/mm]
Damit ist also zu zeigen: [mm] n^2(n+1)(n-1)\equiv 0\mod{6}
[/mm]
Hier genügt sogar eine Betrachtung von (n-1)n(n+1).
Du siehst sofort, dass mindestens einer der drei Faktoren gerade ist, und auch, dass genau einer der drei Faktoren durch drei teilbar ist, egal wie n gewählt wird.
Das Produkt ist also immer durch 6 teilbar.
> Tut mir leid, ich schweif da vom eigentlichen Thema ab.
> Ich find's halt doch faszinierend...
>
> PS: Danke für die raschen informative Antworten :D Hoffe
> es ist noch jemand auf, der mir die Frage beantworten
> kann.
>
> lg
> monkeyhead
So, jetzt geh ich aber auch schlafen.
Nächtle,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:57 Fr 23.10.2009 | | Autor: | monkeyhead |
Danke für eure Bemühungen, reverend, luis und rainer! Ihr habt mir alle sehr geholfen.
Werd jetzt auch mit einem guten Gefühl schlafen gehen können.
Gute Nacht
monkeyhead
PS: Dieses Forum rockt!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
