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| Aufgabe | Die Aufgabe aus Thread 299473 lautete sinngemäß:
In einem Trapez sind die zu einander parallelen Seiten AB= 6m und CD= 2m lang und die Seite AD= 8m lang.
Berechne die Maße des im Trapez eingeschlossenen Rechtecks mit der größtmöglichen Fläche!
Hierbei wurde angenommen, dass die Strecken AB und CD echt parallel sind.
Die obige Aufgabe wird nun folgendermaßen erweitert:
Ermittle die jeweils
a) größte maximale Fläche
b) kleinste maximale Fläche,
die ein eingeschlossenes Rechteck annehmen kann, wenn die Strecken AB und CD
I ) echt parallel
II ) partiell parallel
III ) unecht parallel
zueinander liegen.
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Für I ) echt parallel ist das noch einfach:
Die größte maximale Fläche liegt vor, wenn DAB einen rechten Winkel bilden.
Da ist die Fläche 18.
Und die kleinste maximale Fläche liegt vor, wenn CD genau in der Mitte über AB liegt, also die Winkel DAB und ABC gleich sind. Da habe ich raus, dass die Fläche etwa 16,68 beträgt.
Für II ) partiell parallel ist die größte maximale Fläche genauso groß wie die kleinste maximale Fläche bei I ) echt parallel - also 16,68
... und auch die kleinste maximale Fläche für III ) unecht parallel lässt sich noch einfach ermitteln: Die ist NULL (wenn nämlich der Winkel DAB gegen 180° strebt).
Das Problem ist nur:
Wie ist die kleinste maximale Fläche für II ) partiell parallel?
Wie ist die größte maximale Fläche für III) unecht parallel?
Ich weiß, dass diese beiden Flächen gleichgroß sind. Und zwar genau so groß, wie die maximale Fläche, wenn AB und CD grenzwertig parallel sind.
Aber in diesem Fall hängt das Rechteck in der Luft.
Und das heißt, dass es zwei (scheinbar unabhängige) Variablen x und y gibt, aus denen man das Maximum ermitteln muss. Da kann man aber keine Ableitung bilden oder ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> Die Aufgabe aus Thread 299473 lautete sinngemäß:
>
> In einem Trapez sind die zu einander parallelen Seiten AB=
> 6m und CD= 2m lang und die Seite AD= 8m lang.
> Berechne die Maße des im Trapez eingeschlossenen Rechtecks
> mit der größtmöglichen Fläche!
>
> Hierbei wurde angenommen, dass die Strecken AB und CD
> echt parallel sind.
>
> Die obige Aufgabe wird nun folgendermaßen erweitert:
>
> Ermittle die jeweils
>
> a) größte maximale Fläche
> b) kleinste maximale Fläche,
>
> die ein eingeschlossenes Rechteck annehmen kann, wenn die
> Strecken AB und CD
>
> I ) echt parallel
> II ) partiell parallel
> III ) unecht parallel
>
> zueinander liegen.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
Du interessierst Dich also nicht für das flächengrößte Rechteck, welches man aus einem Trapez schneiden kann, sondern für das flächengrößte Rechteck, dessen eine Seite parallel zur Trapez-Basis ist, wenn ich richtig folge.
(Was mir rein gefühlsmäßig nicht ds Geschickteste zu sein scheint, wenn ich so an meine Versuche zurückdenke, aus den Goldfolienresten der Kinder Brauchbares zurechtzuschneiden.)
Und wenn ich weiter folge, unterscheidest Du verschiedene Kombinationen von Steigungen [mm] m_1, m_2 [/mm] der beiden das Trapez begrenzenden Geraden, und willst hier jeweils den maximalen Flächeninhalt wissen (bei vorgegebener Länge der parallelen Seiten und vorgegebener Länge einer der weiteren Seiten).
Also geht es darum, die Extremwerte einer Funktion von zwei Variablen [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] unter gewissen Randbedingungen an [mm] m_1, m_2 [/mm] zu ermitteln?
Aus dem, was Du sonst noch schreibst, schließe ich, daß Du schon viel gerechnet hast, und daß es lediglich daran scheitert, daß Du die Extremwerte der Dir vorliegenden Funktion von zwei Veränderlichen nicht berechnen kannst.
Falls dem so ist, teil doch mal Deine Funktion mit und die Randbedingungen.
Dann könnten Optimierer ans Werk gehen - ohne sich vorher alles selbst überlegen zu müssen.
Etwas den "normalen" Ableitungen vergleichbares gibt bei Funktionen mit zwei oder mehr Variablen schon: man startet damit, daß man die partiellen Ableitungen =0 setzt und hiermit dann Extremwertkandidaten ermittelt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Do 20.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Du interessierst Dich also nicht für das flächengrößte
> Rechteck, welches man aus einem Trapez schneiden kann,
> sondern für das flächengrößte Rechteck, dessen eine Seite
> parallel zur Trapez-Basis ist, wenn ich richtig folge.
Ja, so ist es.
Falls das Rechteck anders liegt (nicht parallel zur Trapez-Basis) - falls man also gar à priori nicht weiß, wie das Rechteck liegen soll, dann wird es noch komplizierter, weil man sämtliche Anordnungen des Rechtecks durchrechnen und vergleichen müsste.
> Und wenn ich weiter folge, unterscheidest Du verschiedene
> Kombinationen von Steigungen der beiden das Trapez
> begrenzenden Geraden, und willst hier jeweils den maximalen
> Flächeninhalt wissen (bei vorgegebener Länge der parallelen
> Seiten und vorgegebener Länge einer der weiteren Seiten).
Es ging mir dabei um Folgendes:
Je nachdem, wie die Parallen zueinander liegen (siehe meine Zeichnungen), ergeben sich unterschiedliche Maximal-Flächen für das Rechteck.
> Also geht es darum, die Extremwerte einer Funktion von zwei
> Variablen [mm]m_1[/mm] und [mm]m_2[/mm] ....
Eigentlich ja nur EINE Variable: nämlich der Winkel an Punkt A. Der kann von 0° bis 180° laufen. Da wo das Trapez "grenzwertig" ist, beträgt dieser Winkel in unserer Aufgabe etwa 104,48°. (90°+arcsin 0.25)
> Aus dem, was Du sonst noch schreibst, schließe ich, daß Du
> schon viel gerechnet hast, und daß es lediglich daran
> scheitert, daß Du die Extremwerte der Dir vorliegenden
> Funktion von zwei Veränderlichen nicht berechnen kannst.
>
> Falls dem so ist, teil doch mal Deine Funktion mit und die
> Randbedingungen.
Ich hatte etwas Derartiges mal mit "ganz einfachen Zahlen" versucht. Das erwies sich schon als kompliziert *). In diesem speziellen Fall wäre das Aufstellen der Funktion noch aufwändiger.
*) Eine solche Funktion lautet zum Beispiel:
(g-f)*( (6-g)-(6-3f) ) sei maximal
wobei g der x-Wert der Geraden g(x)=-x+6 und f der x-Wert der Geraden
f(x)=-3x+6 ist.
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