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Hallo,
ich habe eine Ellipse in impliziter Darstellung:
q(x1,x2) = [mm] x^T [/mm] * A * x =1; A = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 2 }; x=\vektor{x1 \\ x2}
[/mm]
Nun will ich diese Ellipse um den Ursprung drehen. Wenn ich dies mit der Transformation
[mm] x'=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) & sin(\alpha) }*x
[/mm]
durchführe erhalte ich eine Ellipse, welche zwar gedreht ist, aber auch verformt ist.
Meine Frage nun: woran liegt das? und wie kann ich die Ellipse einfach nur drehen ohne, dass ich eine andere Form der Ellipse erhalte?
Ursprünglich will ich die Ellipse auf Hauptachsenform transformieren, leider habe ich da das gleiche Problem.
Danke für jegliche Hilfe.
Flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Di 04.08.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> ich habe eine Ellipse in impliziter Darstellung:
>
> q(x1,x2) = [mm]x^T[/mm] * A * x =1; A = [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 2 }; x=\vektor{x1 \\ x2}[/mm]
>
> Nun will ich diese Ellipse um den Ursprung drehen. Wenn ich
> dies mit der Transformation
>
> [mm]x'=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) & sin(\alpha) }*x[/mm]
>
> durchführe erhalte ich eine Ellipse, welche zwar gedreht
> ist, aber auch verformt ist.
Kann es sein, daß diese Matrix gar keine Drehung beschreibt?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Warum nicht?
Hier wird es doch auch so gemacht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
>Wenn ich
> dies mit der Transformation
>
> [mm]x'=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) & sin(\alpha) }*x[/mm]
>
> durchführe erhalte ich eine Ellipse, welche zwar gedreht
> ist, aber auch verformt ist.
Was meinst du mit "durchführen"?
Für ein x das
[mm] x^T [/mm] A x=1
erfüllt, gilt für das mit R gedrehte x:
[mm] (Rx)^T (RAR^T)(Rx)=x^T(R^T R)A(R^T R)x=x^T [/mm] A x=1
Das heißt diese Matrix für die gedrehte Ellipse ist
R A [mm] R^T
[/mm]
Wie hast du denn das umtransformiert?
Und im übrigen hat statler vollkommen Recht: Drehmatrix ist das i.Allg nicht was du da hingeschrieben hast, auch wenn du etwas richtiges gemeint hast.
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Ok! Aber wie transformiere ich dann die Ellipse auf Hauptachsenform, so dass die Form der Ellipse gleich bleibt. Oder anders ausgedrückt: Ich will die Ellipse nur soweit drehen, bis die Hauptachsen mit den Koordinatenachsen übereinstimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Di 04.08.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ok! Aber wie transformiere ich dann die Ellipse auf
> Hauptachsenform, so dass die Form der Ellipse gleich
> bleibt. Oder anders ausgedrückt: Ich will die Ellipse nur
> soweit drehen, bis die Hauptachsen mit den
> Koordinatenachsen übereinstimmen.
Also: Zunächst solltest du deinen eigenen Link noch mal gaaaanz genau studieren, um die Matrix richtig hinzukriegen.
Dann solltest du diesen ![[]](/images/popup.gif) Link aufrufen, weil du dort etwas über den Drehwinkel der Hauptachse findest. Das steht auch alles in vernünftigen Formelsammlungen wie Schülkes Tafeln.
Und jetzt müßtest du herleiten können, was du in deiner Matrix für [mm] \alpha [/mm] nehmen mußt, damit alles paßt.
Gruß
Dieter
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Soweit so gut. Der Winkel ist 22,5°. Dreh ich das Ganze mit meiner Drehmatrix, so liegt die Ellipse mit ihren Hauptachsen in Richtung der Koordinatenachsen (schwarz).
Leider versteh ich nun nicht, warum sich die Form der Ellipse ändert bzw. wie ich die rote Ellipse so darstell, dass sie dieselbe Form hat und ihre Hauptachsen parallel zu den Koordinatenachsen sind.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 04.08.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Soweit so gut. Der Winkel ist 22,5°. Dreh ich das Ganze
> mit meiner Drehmatrix, so liegt die Ellipse mit ihren
> Hauptachsen in Richtung der Koordinatenachsen (schwarz).
Den Winkel habe ich nicht nachgerechnet.
> Leider versteh ich nun nicht, warum sich die Form der
> Ellipse ändert bzw. wie ich die rote Ellipse so darstell,
> dass sie dieselbe Form hat und ihre Hauptachsen parallel zu
> den Koordinatenachsen sind.
Dann machst du irgendwo einen Fehler! Bei Drehungen bleiben die Längen der Hauptachsen natürlich unverändert. Was ist die Determinante deiner Drehmatrix? Die muß = 1 sein.
Ohne weitere Angaben kann man das nicht analysieren...
Gruß
Dieter
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Ellipse in impliziter Darstellung:
q(x1,x2) = * A * x =1; A = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 2 }; x=\vektor{x1 \\ x2} [/mm]
Nun will ich diese Ellipse um den Ursprung drehen.
Transformation:
[mm] x=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)}\cdot{}x'
[/mm]
Berechnung des Drehwinkels:
[mm] tan(2*\alpha) [/mm] = 1 --> [mm] \alpha [/mm] = 22,5° = 22,5*180/ [mm] \pi
[/mm]
Einsetzen in Drehmatrix liefert
[mm] x=\pmat{ 0.9238795325 & -0.3826834325 \\ 0.3826834325 & 0.9238795325 }\cdot{}x'
[/mm]
Determinante der Drehmatrix ist immer 1!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Di 04.08.2009 | | Autor: | statler |
> Ellipse in impliziter Darstellung:
>
> q(x1,x2) = * A * x =1; A = [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 2 }; x=\vektor{x1 \\ x2}[/mm]
>
> Nun will ich diese Ellipse um den Ursprung drehen.
>
> Transformation:
>
> [mm]x=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)}\cdot{}x'[/mm]
>
> Berechnung des Drehwinkels:
>
> [mm]tan(2*\alpha)[/mm] = 1 --> [mm]\alpha[/mm] = 22,5° = 22,5*180/ [mm]\pi[/mm]
>
> Einsetzen in Drehmatrix liefert
>
> [mm]x=\pmat{ 0.9238795325 & -0.3826834325 \\ 0.3826834325 & 0.9238795325 }\cdot{}x'[/mm]
>
> Determinante der Drehmatrix ist immer 1!
>
Soweit OK! Hast du vielleicht [mm] (Dx)^T [/mm] falsch ausgewertet?
Jedenfalls geht es, das siehst du ja unten.
Dieter
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Nein, die habe ich richtig ausgewertet. Dass es geht, habe ich auch nie bestritten, aber bei Andrey ist die Drehung sehr gering, so dass die Ellipsen so aussehen, als ob sie die gleiche Form hätten (siehe auch die Antwort zu Andreys Post).
Scheinbar ändert sich durch die Transformation die Form der Ellipse. Was ich wissen wollte, ob es eine Transformation gibt, welche die Ellipse dreht, aber die Form gleich belässt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nachdem man dir das jetzt 3 mal umsonst gesagt hat:
Bei einer Drehung, egal um welchen Winkel, aendert sich das Achsenverhaeltnis NICHT.
Wenn es sich bei dir aendert, hast du einen Fehler in der Anwendung der matrix.
Das hat nichts mit der Groesse des Drehwinkels zu tun.
Wenn deine det=1 ist koennen sich Laengn nicht aendern!!
Also rechne vor, was du gemacht hast.
Gruss leduart
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Alles klar!!! Mann, Mann, Mann!!! Ich hab den Fehler gefunden! Vielen Dank an Alle, die mir geholfen ham!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Wenn deine det=1 ist koennen sich Laengn nicht aendern!!
Den Satz sollte man aber echt nicht aus dem Kontext der Drehstreckungen rausreißen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Der Winkel stimmt, genau [mm] \frac{\pi}{8} [/mm] (man könnte die ellipse natürlich genauso in die andere richtung kippen, indem man die eigenvektoren in der Drehmatrix einfach vertauscht, dann wäre der Winkel größer)
Die Ellipse wird wunderbar entlang der Achsen ausgerichtet, hab's hier sogar mal geplottet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Rotationsmatrix ist auch mit dabei. hast du evtl. vorhin vergessen die Eigenvektoren zu normieren? Das könnte dann zu seltsamsten verzerrungen führen.
edit1:
Um's noch etwas deutlicher hinzuschreiben: wenn man diese matrix aus Eigenvektoren, die auf dem Bild zu sehen ist, mit E bezeichnet, dann ist die Rote ellipse gerade die menge der Punkte, für die
[math]xE^T AEx=1[/math]
gilt. Kommt halt drauf an, wohin man was rotieren will, im gegensatz zu dem was oben stand, dreht E ja alles in die andere Richtung. Aber da dürfte es eig. keine Verwechslungsgefahr entstehen, man sollte sich halt überlegen, von wo man welche Eigenvektoren dranmultiplizieren muss, um A zu diagonalisieren. In diesem fall geht's so rum...
edit2:
Mir ist soeben aufgefallen, dass da oben an irgendeiner Antwort so eine Klammer drangemalt ist^^ Das Bild das da angehängt ist, sieht doch schon genauso aus, wie das, was ich geplottet hab? Skalierung ist halt nicht so toll gewählt, die Achsenmarkierungen stehen ja dran...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Danke für die Antwort. Ich komme auf das Selbe. Nur wenn ich zur anderen Achse drehe, in deinem Fall zur x-Achse, sehen sich die Ellipsen gar nicht mehr so ähnlich. Meiner Meinung nach liegt die Ähnlichkeit bei dir daran, dass du die kleinere Drehung durchführst!
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