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Hallo!
Es geht um eine eher allgemeine Frage. Wir haben in der Vorlesung Elementare Differentialgeometrie die Drehfläche folgender Maßen definiert:
Eine Drehfläche ist eine reguläre Fläche S [mm] \subset \IR^3 [/mm] der Form S=F(I x [mm] \IR) [/mm] mit
F(t, [mm] \phi)=(r(t) cos(\phi), [/mm] r(t) [mm] sin(\phi), [/mm] t),
wobei (r(t),t) eine in der x-z-Ebene liegende Kurve ist.
So weit, so klar.
Nur habe ich nun im Internet eine andere Definition gesehen, bei der in der dritten Komponente von F(, [mm] \phi) [/mm] z(t) oder so statt t steht.
Auch bei einer Aufgabe zu unserer Vorlesung haben wir eine Kurve c(t)=(u(t),z(t)) und F(u,v)=(a(u) cos(v), a(u) sin(v), z(u))
Jetzt meine Frage: Macht es einen Unterschied, welche Definition ich wähle, und welchen? Wenn ich mal selbst so eine Drehfläche aufstellen soll, welche Definition ist geeigneter?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 Mo 13.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
Deine erste Definition ist einfach ein Spezialform der allgemeineren, nämlich mit der speziellen Funktion z(t)=t.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Mo 13.07.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso, vielen Dank 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mo 13.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Achso, vielen Dank
Gern geschehen.
Als kleine Ergänzung: Der Spezialfall z(t)=t bedeutet, dass der Parameter t direkt die Höhe angibt und wird idR dann verwendet werden, wenn die Gleichung der Profilkurve, die um die z-Achse rotiert wird, in kartesischen Koordinaten als Funktion r=r(t) bekannt ist. r ist dabei der Abstand von der Drehachse und t eben die Höhe.
Nehmen wir als Beispiel eine Kugel vom Radius 1.
Du kannst als Profil den Halbkreis [mm] $r(t):=\sqrt{1-t^2}$ [/mm] verwenden und kommst so auf
[mm] $F(t,\varphi)= \begin{pmatrix} \sqrt{1-t^2}\cdot cos \varphi \\ \sqrt{1-t^2}\cdot sin \varphi\\ t \end{pmatrix} [/mm] $
mit
[mm] $0\le\varphi [/mm] < [mm] 2\pi$
[/mm]
und
[mm] $-1\le [/mm] t <1$.
Der Parameter t hat hier also die Bedeutung de Höhe, der AUsdehnung in Drehachsenrichtung.
Man kann aber auch eine Parameterdarstellung der Kugel angeben, bei der der Parameter t sozusagen den Breitengrad angibt und kommt auf
[mm] $F(t,\varphi)= \begin{pmatrix} cos t\cdot cos \varphi \\ cos t\cdot sin \varphi\\ sin(t) \end{pmatrix} [/mm] $
mit
[mm] $0\le\varphi [/mm] < [mm] 2\pi$
[/mm]
und
[mm] $-\frac{\pi}{2}\le [/mm] t [mm] <\frac{\pi}{2}$.
[/mm]
Es handelt sich hier also um zwei unterschiedliche Parametrisierungen der gleichen Fläche.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Di 14.07.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso? Vielen Dank für die Info! Cool!
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