Drehkegel einschreiben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel maximaler Oberfläche. |
Hallo!
Hab ein kleines Problem mit diesem beispiel.
Meine Hauptbedingung :
[mm] O_{Kegel}= [/mm] r² [mm] \pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] *r*s
Mein Problem ist nur, das ich auf keine NB komme, bzw keine finde.
hoffe mir kann da wer auf die sprünge helfen.
mfg
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Hallo devilofdeath!
> Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen
> eingeschriebenen Drehkegel maximaler Oberfläche.
> Hallo!
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> Hab ein kleines Problem mit diesem beispiel.
>
> Meine Hauptbedingung :
>
> [mm]O_{Kegel}=[/mm] r² [mm]\pi[/mm] + [mm]\pi[/mm] *r*s
>
> Mein Problem ist nur, das ich auf keine NB komme, bzw keine
> finde.
>
> hoffe mir kann da wer auf die sprünge helfen.
>
Spontan fällt mir zur Lösung folgendes ein.
Zunächst man eine kleine Zeichnung (Seitenansicht) zum Sachverhalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die farbigen Linien stellen folgendes dar:
- lila: Mantellinie (s) des einbeschriebenen Kreiskegels.
- blau: Radius [mm] (r_{K}) [/mm] der Kugel
- grün: Teilstück (h) der Höhe des einbeschirebenen Kreiskegels
- rot: Radius (r) der Grundfläche des einbeschriebenen Kreiskegels
Jetzt könntest du dir den Pythagoras zu Hilfe nehmen um die Mantellinie (s) darzustellen:
[mm] s^{2}=(r_{K}+h)^{2}+r^{2} [/mm] --> Gleichung (I)
Weiterhin gilt:
[mm] r_{K}^{2}=h^{2}+r^{2} \gdw h=\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}} [/mm] ---> gleichung (II)
Gleichung (II) kannst du nun in Gleichung (I) einsetzen:
[mm] s^{2}=(r_{K}+\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}})^{2}+r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] s=\wurzel{(r_{K}+\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}})^{2}+r^{2}}=\wurzel{r_{K}^{2}+2r_{K}*\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}+2r^{2}}
[/mm]
Diese Gleichung kannst du nun in deine HB einsetzen und erhälst damit einen Formel für die Berechnung der Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius der Grundfläche des einbeschriebenen Kreiskegels. Ab da musst du nun "nur" noch die ersten beiden Ableitungen von [mm] A_{O} [/mm] bilden um den Extremwert für r zu bestimmen.
Kommst du dann allein weiter?
Gruß,
Tommy
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Vielen Danke einmal.
Ich werd mich gleich hinsetzen und das ganze mal probieren.
bei Fragen meld ich mich halt einfach
mfg
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> [mm]r_{K}^{2}=h^{2}+r^{2} \gdw h=\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}[/mm] --->
> gleichung (II)
>
> Gleichung (II) kannst du nun in Gleichung (I) einsetzen:
>
> [mm]s^{2}=(r_{K}+\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}})^{2}+r^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]s=\wurzel{(r_{K}+\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}})^{2}+r^{2}}=\wurzel{r_{K}^{2}+2r_{K}*\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}+2r^{2}}[/mm]
>
OK hab nun doch eine Frage :
bei s² = [mm] (r_{K}+\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}})^{2}+r^{2}
[/mm]
wird der erste teil ja mit der Formel ( a + b ) ² = a² + 2ab + b² aufgelöst, oder?
da kommt mir dann folgendes raus :
s² = [mm] r_{K} ²+r_{K}*\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}} [/mm] + [mm] r_{K}^{2}-r^{2} +r^{2}
[/mm]
was dann weiterergbit :
s [mm] =\wurzel{2* r_{K} ²+2*r_{K}*\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}} }
[/mm]
oder irre ich mich da?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Fr 04.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast du 2 vergessen.
[mm] s²=(r_{K}+\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}})^{2}+r^{2}
[/mm]
[mm] =r_{K}²+\red{2}r_{K}\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}+r_{K}^{2}-r^{2}+r²
[/mm]
[mm] =2r_{K}²+2r_{K}\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}
[/mm]
[mm] =2r_{K}(r_{k}-\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}})
[/mm]
[mm] \Rightarrow s=\wurzel{2r_{K}²+2r_{K}\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2r_{K}(r_{k}-\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}}
[/mm]
Was ja wieder deiner Lösung entspricht. Also hast du irgendwo wieder deine 2 eingebaut
Marius
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> Was ja wieder deiner Lösung entspricht. Also hast du
> irgendwo wieder deine 2 eingebaut
ja, bin nach 2 Minuten draufgekommen das er fehlt und habs editiert :)
so, hab das ganze jetzt eingesetzt und steh aber vor einem problem.
ich hab mein s noch weiter vereinfacht :
[mm] s=\wurzel{2r_{K}²+2r_{K}\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{2}*r_{K}- \wurzel{2*r_{K}*r}
[/mm]
das ganze in meine HB eingesetzt ergibt :
O(r) = r² [mm] \pi [/mm] + [mm] \pi*r*2*\wurzel{2}*r_{K}- \wurzel{2*r_{K}*r}
[/mm]
die erste ableitung nach r ergibt
O'(r) = [mm] 2*\pi*r [/mm] + [mm] 2*\pi*\wurzel{2}*r_{K} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}*r_{K}}{\wurzel{r_{K}*r}}
[/mm]
jetzt würd ich gerne umformen auf r , aber irgendwie gelingt mir das nicht so ganz.
mfg
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Hallo nochmals!
> ich hab mein s noch weiter vereinfacht :
>
> [mm]s=\wurzel{2r_{K}²+2r_{K}\wurzel{r_{K}^{2}-r^{2}}}[/mm] =
> [mm]2*\wurzel{2}*r_{K}- \wurzel{2*r_{K}*r}[/mm]
>
> das ganze in meine HB eingesetzt ergibt :
>
> O(r) = r² [mm]\pi[/mm] + [mm]\pi*r*\red{(}2*\wurzel{2}*r_{K}- \wurzel{2*r_{K}*r}\red{)}[/mm]
Ich denke, du hast hier die Klammern vergessen.
> die erste ableitung nach r ergibt
>
> O'(r) = [mm]2*\pi*r[/mm] + [mm]2*\pi*\wurzel{2}*r_{K}[/mm] -
> [mm]\bruch{\wurzel{2}*r_{K}}{\wurzel{r_{K}*r}}[/mm]
>
> jetzt würd ich gerne umformen auf r , aber irgendwie
> gelingt mir das nicht so ganz.
>
> mfg
Gruß,
Tommy
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> Ich denke, du hast hier die Klammern vergessen.
Ja hast natürlich recht! hab ich vergessen.
Mein Problem is aber weiterhin, das wenn ich das ganze differenziere nach r , dass ich dann nicht auflösen kann.
jemand ne idee?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Kemena |
Hallo!
Leider weiss ich jetzt nicht was du mit der Formel errechnen möchtest, aber ich hätte da nen tipp: Substitution!
Habe das mal gerechnet das Beispiel bis man schön Substituieren kann.
Weiter musst du machen. Ich hoffe es ist richtig und deckt sich mit deinen Rechnungen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Fr 04.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich kann nicht nachvollziehen, wie du bei s die Doppelwurzel weggekriegt hast. Kannst du das nochmal nachprüfen?
2. fallst das richtig wäre, ist die Ableitung falsch:
[mm] (\wurzel{2*r_k*r})'=\bruch{r_k}{\wurzel{2*r_k*r}}
[/mm]
Wenn du also s sicher bist (ich glaub nicht dran,) musst du nur die kleine Korrektur anbringen und O'=0 mit [mm] r^{1/2} [/mm] multiplizieren.
Gruss leduart
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> Hallo
> Ich kann nicht nachvollziehen, wie du bei s die
> Doppelwurzel weggekriegt hast. Kannst du das nochmal
> nachprüfen?
Du hast recht, hab da nen blödsinn gemacht. Man muss mit der Doppelwurzel weiterrechnen.
> Gruss leduart
Hab hier jetzt [mm] r_{K} [/mm] durch R ersetzt , da es leichter zu schreiben ist.
O(r) = [mm] r²\pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] * r * [mm] \wurzel{2R²+2R*\wurzel{R²-r²}} [/mm]
gibt es hier ne Möglichkeit, "leicht" nach r zu differenzieren? ich scheiter daran. und vor allem dann auch nach r auszudrücken,so dass man ein Ergebnis zur Angabe oben erhhält?
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Fr 04.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was einfaches krieg ich bei der ableitung auch nicht raus.
Einfacher wird es denk ich, wenn man den Winkel an der Spitze des Kegels als Parameter gilt.
Ich nenn ihn [mm] \phi.
[/mm]
der Mittelpktswinkel ist dann [mm] 2\phi
[/mm]
man hat [mm] r/R=sin\phi r/s=sin\phi/2 [/mm] und kann damit alles durch [mm] sin\phi [/mm] und [mm] sin\phi/2 [/mm] und natuerlich R ausdruecken.
die formeln werden einfacher, nur irgendwann braucht man die Formeln zum Umrechnen von [mm] sin\phi [/mm] zu [mm] sin\phi/2
[/mm]
Duchgerechnet hab ichs nicht, denk nur es muss einfacher werden.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 06.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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