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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Fr 22.06.2007 | | Autor: | cyp |
| Aufgabe | | 5.2 Gegeben ist der Vektor a (1 1 0). Drehen Sie das Koordinatensystem um [mm] -\pi/4 [/mm] um die [mm] $x_3$-Achse! [/mm] Wie sieht die Drehmatrix und wie Vektor a (Darstellung von Vektor a im gedrehten Koordinatensystem) aus? |
Hallo,
habe ein Problem mit der Berechnung. Aus der Aufgabe soll sich die u.g. Lösung ergeben allerdings weiß ich nicht wie man auf [mm] 1/\wurzel2 [/mm] kommt.
Über eine kurze Erklärung was man da genau machen soll und wie man es errechnet würde ich mich freuen.
Lösung siehe Anhang
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Fr 22.06.2007 | | Autor: | cyp |
Drehen Sie den Ortsvektor a (1 1 0) um [mm] 3\pi/4 [/mm] um die x1-Achse. Wie sieht die Drehmatrix und wie der gedrehte Vektor aus?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> 5.2 Gegeben ist der Vektor a (1 1 0). Drehen Sie das
> Koordinatensystem um [mm]-\pi/4[/mm] um die [mm]x_3[/mm]-Achse! Wie sieht
> die Drehmatrix und wie Vektor a (Darstellung von Vektor a
> im gedrehten Koordinatensystem) aus?
> Hallo,
> habe ein Problem mit der Berechnung. Aus der Aufgabe soll
> sich die u.g. Lösung ergeben allerdings weiß ich nicht wie
> man auf [mm]1/\wurzel2[/mm] kommt.
> Über eine kurze Erklärung was man da genau machen soll und
> wie man es errechnet würde ich mich freuen.
Die wichtigere Frage scheint mir zu sein, wie Du auf die Drehmatrix für die Drehung um einen beliebigen Winkel [mm]\varphi[/mm] um die [mm]x_3[/mm]-Achse kommst: in dieser Matrix sind die Spaltenvektoren (wie bei jeder Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung) die Bilder der Basisvektoren. Die [mm]x_3[/mm]-Koordinate aller Basisvektoren bleibt dieselbe. Hier eine Skizze, die ich zur Erläuterung der für [mm]x_{1,2}[/mm]-Koordinaten nötigen Transformation (allerdings mit [mm]x[/mm]-Koordinate anstelle von [mm]x_1[/mm] und [mm]y[/mm]-Koordinate anstelle von [mm]x_2[/mm]) gerade noch herumliegen habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daraus ergibt sich (wenn wir wieder Deinen Benennung des allgemeinen Drehwinkels [mm]\varphi[/mm] anstelle der in dieser Skizze verwendeten Benennung [mm]\alpha[/mm] benutzen):
[mm]\pmat{ \cos \varphi & -\sin\varphi & 0\\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Die verbleibende Frage ist, weshalb denn [mm]\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] sein soll (war dies wirklich Deine Frage oder habe ich was falsch verstanden?)
Vielleicht ist Dir dies in der Form [mm]\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm] vertrauter? Diese Schreibweise erhält man einfach durch Erweitern mit [mm]\sqrt{2}[/mm] (sogenanntes "Rationalmachen des Nenners").
Dass [mm]\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm] gilt, ist vielleicht etwas vom ersten, was die Schüler bei der Vorbereitung auf's Abitur apropos Trigonometrie erklärt erhalten (betrachte ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck bzw. halbiertes Quadrat: dessen Hypothenuse ist, aufgrund des Satzes von Pythagoras, [mm]\sqrt{2}[/mm] mal die Kathetenlänge).
>
> Lösung siehe Anhang
> [Dateianhang nicht öffentlich]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Deine hier mit [mm]\varphi[/mm] formulierte Drehmatrix ist, nebenbei bemerkt, meines Erachtens falsch (vergleiche mit meiner eigenen Version weiter oben). Des weiteren ist hier das zweite Gleichheitszeichen reinster Müll: denn auf der linken Seite steht eine [mm]3\times 3[/mm]-Matrix und auf der rechten Seite ein Vektor (bzw. eine [mm]3\times 1[/mm]-Matrix).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 22.06.2007 | | Autor: | cyp |
Hallo somebody,
danke für deine fixe Antwort also wenn ich dich richtig verstanden habe müsste da [mm] \wurzel{2}/2 [/mm] stehen statt [mm] 1/\wurzel2 [/mm] . Dann würde ich es auch verstehen. Bogemmaß wäre dann bei 45Grad und wie sieht es mit der Drehmatrix aus? Laut meinen Kenntnissen muss man bei Verschiebung des Koordinatensystems meine V nehmen (s.Anlage).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Quelle: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R.C2.B3
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo cyp,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
[mm] $\bruch{1}{2}*\wurzel{2}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] sind doch dasselbe. Erweitere mal [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] mit [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] :
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\blue{\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}*\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Fr 22.06.2007 | | Autor: | cyp |
Aber wie kommt man den z.B. bei der 2 Aufgabe darunter auf 0,71 wieso muss man überhaupt erweitern?
Ich meine ich setzte das alles in meine Drehmatrix ein und errechne dann wie weit sich das teil verschoben hat aber wie ich auf die Werte komme in der Matrix also z.B 0,71 ist mir ein Rätsel. pi/4 sind wohl wurzel 2/2 aber trotzdem komme ich net auf die Werte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Fr 22.06.2007 | | Autor: | cyp |
Aber wie kommt man den z.B. bei der 2 Aufgabe darunter auf 0,71 wieso muss man überhaupt erweitern?
Ich meine ich setzte das alles in meine Drehmatrix ein und errechne dann wie weit sich das teil verschoben hat aber wie ich auf die Werte komme in der Matrix also z.B 0,71 ist mir ein Rätsel. pi/4 sind wohl wurzel 2/2 aber trotzdem komme ich net auf die Werte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \wurzel{2}/2=1/\wurzel{2}\approx [/mm] 0,71
[mm] sin\pi/4=sin3\pi/4=\wurzel{2}/2; [/mm]
[mm] cos3\pi/4=-cos\pi/4
[/mm]
war das die Frage?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Fr 22.06.2007 | | Autor: | cyp |
Ja genau das meinte ich aber woher weiß ich ich wie ich auf
$ [mm] sin\pi/4=sin3\pi/4=\wurzel{2}/2; [/mm] $ komme. Könnte ja theorietisch eine Aufgabe gestellt werden wo ich z.b. das ganze um 5pi/8 drehen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sin und cos sollte man so gut kennen, dass sin zu [mm] \pi/2 [/mm] symetrisch und cos punktsym. ist. Oder es sich am Kreis anschauen.
bei 0, 30°, 45° und 60° sollte man die Werte auswendig wissen oder schnell aus dem Pythagoras finden können!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Mo 25.06.2007 | | Autor: | cyp |
Hallo,
die Werte kann ich zum Teil auswendig, mein Problem ist aber leider das ich weiß das pi/4 gleich wurzel2/2 ist aber was ist dann z.B 3pi/4. Einfach den Nenner mit 3 erweitern?
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> Hallo,
> die Werte kann ich zum Teil auswendig, mein Problem ist
> aber leider das ich weiß das pi/4 gleich wurzel2/2 ist
> aber was ist dann z.B 3pi/4. Einfach den Nenner mit 3
> erweitern?
Nein, sicher nicht. Du führst die Winkelfunktion mit dem Argument [mm]\frac{3\pi}{4}[/mm] mittels sogenannter "Quadrantenrelationen" auf [mm]\pm[/mm] dieselbe Winkelfunktion oder deren Co-Funktion für das Argument [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] zurück. Beispiel:
[mm]\sin\frac{3\pi}{4} = \sin\Big(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Big)=\cos\frac{\pi}{2}[/mm]
Weil eben allgemein gilt: [mm]\sin\Big(\varphi+\frac{\pi}{2}\Big) = \cos\Big(\frac{\pi}{2}\Big)[/mm]
Alternative Möglichkeit: Du zeichnest den Winkel [mm]\frac{3\pi}{4}[/mm] in eine Skizze des Einheitskreises ein und überlegst, wie ein passend gedrehtes (in diesem Fall gleichschenklig) rechwinkliges Dreieck dazu verwendet werden kann, den gewünschten Wert der fraglichen Winkelfunktion für einen stumpfen oder negativen Winkel zu bestimmen.
Dieses Vorgehen funktioniert immer, wenn sich der Winkel, für den Du den Wert einer Winkelfunktion berechnen willst, nur im Vorzeichen und/oder um [mm]\pm n\cdot \frac{\pi}{2}[/mm], [mm]n\in \IZ[/mm], von einem Winkel unterscheidet, von dem Du den Wert dieser Winkelfunktion und deren Co-Funktion bereits kennst.
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> Hallo somebody,
> danke für deine fixe Antwort also wenn ich dich richtig
> verstanden habe müsste da [mm]\wurzel{2}/2[/mm] stehen statt
> [mm]1/\wurzel2[/mm] . Dann würde ich es auch verstehen. Bogemmaß
> wäre dann bei 45Grad und wie sieht es mit der Drehmatrix
> aus? Laut meinen Kenntnissen muss man bei Verschiebung des
> Koordinatensystems meine V nehmen (s.Anlage).
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Quelle:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R.C2.B3
Ach so: mit diesem Einwand hast Du natürlich absolut Recht. Ich dachte in meiner ersten Antwort an die Matrix der Drehung um [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] als Abbildung. Wenn Du das Koordinatensystem drehst, dass drehen sich (aus der Sicht des gedrehten Koordinatensystems) die Vektoren um [mm]-\varphi=-\frac{\pi}{4}[/mm] und die Vorzeichen der [mm]\sin\varphi[/mm]-Einträge ändern sich entsprechend, denn [mm]\sin(-\varphi)=-\sin(\varphi)[/mm].
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