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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 14.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Darstellungsmatrix (bzgl der üblichen kartesischen Basis [mm] {e_x , e_y ,e_z} [/mm] ) der Drehspiegelung l, die sich aus einer Spiegelung an der [mm] e_x [/mm] - [mm] e_y [/mm] -Ebene und anschließender Drehung um [mm] \pi/2 [/mm] um die [mm] e_y [/mm] Achse (gegen den Uhrzeigersinn) zusammensetzt. |
Abend,
WIe kann ich mir diese Drehung vorstellen? Ist das ein Körper oder dreht sich dass ganze Koordiantensystem um [mm] \pi/2 [/mm] gegen den Uhrzeigersinn? WEnn ja, müssten sich ja lediglich die x-y-Koordianten der Drehspiegelung l (= lineare Abbildung?) ändern, oder? WEiterhin ist mir unklar, wie ich diese Drehunbg bezüglich der kartesischen BAsis in eine Matrix packen soll. Wie kann ich also eine viertel Kreisdrehung als MAtrix darstellen?
Danke für eure Hilfen.
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> Berechnen Sie die Darstellungsmatrix (bzgl der üblichen
> kartesischen Basis [mm]{e_x , e_y ,e_z}[/mm] ) der Drehspiegelung l,
> die sich aus einer Spiegelung an der [mm]e_x[/mm] - [mm]e_y[/mm] -Ebene und
> anschließender Drehung um [mm]\pi/2[/mm] um die [mm]e_y[/mm] Achse (gegen
> den Uhrzeigersinn) zusammensetzt.
>
> Wie kann ich mir diese Drehung vorstellen? Ist das ein
> Körper oder dreht sich das ganze Koordiantensystem um
> [mm]\pi/2[/mm] gegen den Uhrzeigersinn? Wenn ja, müssten sich ja
> lediglich die x-y-Koordianten der Drehspiegelung l (=
> lineare Abbildung?) ändern, oder? Weiterhin ist mir
> unklar, wie ich diese Drehunbg bezüglich der kartesischen
> Basis in eine Matrix packen soll. Wie kann ich also eine
> viertel Kreisdrehung als Matrix darstellen?
>
> Danke für eure Hilfen.
Guten Abend,
nach der Aufgabenstellung scheint es, dass hier nicht das
Koordinatensystem transformiert werden soll, sondern man
soll die Spiegelung und Drehung eines Körpers (bzw. eigent-
lich nur eines allgemeinen Punktes) bezüglich eines fixen
Koordinatensystems beschreiben.
Geh also einfach von einem Punkt P(x|y|z) aus, bestimme
sein Spiegelbild S(P) bezüglich der x-y-Ebene und drehe dann
diesen entstandenen Punkt durch eine Drehung D mit der
Drehachse = y-Achse und dem richtigen Drehwinkel.
Eine Skizze oder ein räumliches Modell kann dazu sehr
hilfreich sein.
So sollte es leicht sein, die Koordinaten des schließlich
entstehenden Punktes D(S(P)) durch die Koordinaten von
P auszudrücken und dieses Ergebnis auch in Form einer
Matrix M zu notieren. Man kann natürlich diese Abbildungs-
matrix auch als Produkt der Matrizen der einzelnen Abbil-
dungen (zuerst Spiegelung S, dann Drehung D) berechnen:
M = D [mm] \circ [/mm] S
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mo 14.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
ICh hab nun folgendes:
P=(x,y,z) S(P)=(x,y,-z) [mm] S(P)=(cos(\pi/2), sin(\pi/2), [/mm] -z)
Und jetzt?
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> ICh hab nun folgendes:
>
> P=(x,y,z) S(P)=(x,y,-z) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die zu S gehörige Matrix ist
$\ S\ =\ [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}$
[/mm]
Beachte, dass die drei Spaltenvektoren dieser Matrix
die Bilder der Basisvektoren [mm] \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3
[/mm]
unter der Abbildung S sind.
> [mm]S(P)=(cos(\pi/2), sin(\pi/2),[/mm] -z) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Und jetzt?
Stelle die Matrix D der Drehung nun ebenfalls durch
Betrachtung der Bilder der Basisvektoren dar. Das
kannst du dir klar machen, ohne wirklich Trigonometrie
zu bemühen.
LG Al-Chw.
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