Drehung Funktionentheorie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f:B_{1}(0)\to B_{1}(0) [/mm] sei eine holomorphe und bijektive Abbildung [mm] (B_{1}(0) [/mm] Einheitskugel), deren Inverse ebenfalls holomorph ist. Weiter gelte f(0) = 0. Zeigen Sie, dass f eine Drehung um den Nullpunkt beschreibt. |
Hallo!
Eine ganz blöde Frage - wie wird eine "Drehung" in der Funktionentheorie definiert, bzw. was muss ich zeigen? Ich habe leider keine Vorlesungsmitschriften vorliegen, ein Link zur Definition würde mir reichen.
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:B_{1}(0)\to B_{1}(0)[/mm] sei eine holomorphe und bijektive
> Abbildung [mm](B_{1}(0)[/mm] Einheitskugel), deren Inverse ebenfalls
> holomorph ist. Weiter gelte f(0) = 0. Zeigen Sie, dass f
> eine Drehung um den Nullpunkt beschreibt.
> Hallo!
>
> Eine ganz blöde Frage - wie wird eine "Drehung" in der
> Funktionentheorie definiert, bzw. was muss ich zeigen?
Du sollst zeigen: es gibt ein [mm] \alpha \in \IC [/mm] mit:
[mm] $|\alpha| [/mm] = 1$ und $f(z) = [mm] \alpha [/mm] z$
(warum heißt so etwas wohl "Drehung" ?)
Gehe so vor:
1. die Funktionen f und [mm] f^{-1} [/mm] erfüllen die Vor. des Schwarzen Lemmas
2. Dieses Lemma besagt dann:
(*) $|f(z)| [mm] \le [/mm] |z|$ für jedes $z [mm] \in B_{1}(0) [/mm] $ und [mm] $|f^{-1}(w)| \le [/mm] |w|$ für jedes $w [mm] \in B_{1}(0) [/mm] $
3. Folgere aus (*):
(**) $|f(z)| = |z|$ für jedes $z [mm] \in B_{1}(0) [/mm] $
4. Was sagt das Schwarzsche Lemma zu (**) ?
FRED
> Ich
> habe leider keine Vorlesungsmitschriften vorliegen, ein
> Link zur Definition würde mir reichen.
>
> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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Hallo fred,
vielen Dank für deine Antwort! Mit dem Schwarzschen Lemma ist das ja ganz leicht 
Also - es gilt zunächst $|f(z)| [mm] \le [/mm] |z|$ für jedes [mm] $z\in B_{1}(0)$ [/mm] und [mm] $|f^{-1}(w)| [/mm] < |w|$ für jedes [mm] $w\in B_{1}(0)$.
[/mm]
Sei $w := f(z)$, dann erhält man aufgrund der Bijektivität von f:
$|f(z)| = |w| [mm] \ge |f^{-1}(w)| [/mm] = [mm] |f^{-1}(f(z))| [/mm] = |z|$. Also ist gleichzeitig
$|f(z)| [mm] \le [/mm] |z|$
und
$|f(z)| [mm] \ge [/mm] |z|$
und somit
$|f(z)| = |z|$
für alle [mm] $z\in B_{1}(0)$.
[/mm]
Aus dem Schwarzschen Lemma folgt nun, dass sich $f(z)$ als $f(z) = [mm] e^{i*\lambda}*z$ [/mm] für ein passendes [mm] \lambda [/mm] darstellen lässt, d.h.
$f(z) = [mm] \alpha*z$ [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] e^{i*\lambda} [/mm] und [mm] |\alpha| [/mm] = 1, also handelt es sich bei f um eine Drehung.
Ist das okay so?
Danke für Eure Hilfe und viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> vielen Dank für deine Antwort! Mit dem Schwarzschen Lemma
> ist das ja ganz leicht
>
> Also - es gilt zunächst [mm]|f(z)| \le |z|[/mm] für jedes [mm]z\in B_{1}(0)[/mm]
> und [mm]|f^{-1}(w)| < |w|[/mm] für jedes [mm]w\in B_{1}(0)[/mm].
Da hast Du Dich sicher verschrieben
Richtig:
[mm]|f^{-1}(w)| \le |w|[/mm]
> Sei [mm]w := f(z)[/mm],
> dann erhält man aufgrund der Bijektivität von f:
> [mm]|f(z)| = |w| \ge |f^{-1}(w)| = |f^{-1}(f(z))| = |z|[/mm]. Also
> ist gleichzeitig
>
> [mm]|f(z)| \le |z|[/mm]
> und
> [mm]|f(z)| \ge |z|[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]|f(z)| = |z|[/mm]
>
> für alle [mm]z\in B_{1}(0)[/mm].
> Aus dem Schwarzschen Lemma folgt
> nun, dass sich [mm]f(z)[/mm] als [mm]f(z) = e^{i*\lambda}*z[/mm] für ein
> passendes [mm]\lambda[/mm] darstellen lässt, d.h.
>
> [mm]f(z) = \alpha*z[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] = [mm]e^{i*\lambda}[/mm] und [mm]|\alpha|[/mm] =
> 1, also handelt es sich bei f um eine Drehung.
>
> Ist das okay so?
Gut gemacht !
FRED
>
> Danke für Eure Hilfe und viele Grüße, Stefan.
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Ok, vielen vielen Dank für deine Tipps, fred
Grüße, Stefan.
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