Drehung im R3 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 08.08.2009 | | Autor: | Alex10 |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
gegeben: Punkt (1,2,3), Das Koordinatensystem wird um 45° um die x-,y- und z-Achse rotiert.
gesucht: Koordinaten des Punktes nach der Rotation im "neuen Koordinatensystem"
Die Rechnung müsste eigentlich mit folgenden Matrizen funktionieren:
Rotation um x-Achse Rx:
1 0 0 0
0 0,7 -0,7 0
0 0,7 0,7 0
0 0 0 1
Rotation um y-Achse Ry:
0,7 0 0,7 0
0 1 0 0
-0,7 0 0,7 0
0,0 0 0 1
Rotation um z-Achse Rz:
0,7 -0,7 0 0
0,7 0,7 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Zusammenfügen:
P'=Rx*Ry*Rz*P P=(1,2,3,0)
Wenn ich das so rechne, kommt aber meiner Meinung nach, nicht das richtige raus, weil ich mir das im R2 mal aufgemalt habe. Die Multiplikation hab ich folgendermaßen gemacht:
Rx*Ry=R1
R1*Rz=R2
P'=R2*P
Stimmt die Rechnung? Gibt es noch eine andere Möglichkeit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 08.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.wie kommst du auf die [mm] 4\times [/mm] 4 Matrizen?
2. Es kommt auf die Reihenfolge an.So wie du es geschrieben hast wird erst um die z-Achse gedreht.
Pruef in deinem Ergebnis nach wohin etwa (1,0,0) transportiert wird
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 08.08.2009 | | Autor: | Alex10 |
zu 1. von http://de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Koordinaten und halt die Winkel eingetragen. nicht richtig?
zu 2. also das, was mit dem Punkt zuerst multipliziert wird, ist die erste Drehung (z), dann Drehung um y und dann um x, von rechts nach links quasi gerechnet.
Gibt es auch noch eine andere Möglichkeit, diese Rotation zu errechnen? Es wirderden immer alle 3 Achsen um den gleichen Winkel gedreht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 08.08.2009 | | Autor: | qsxqsx |
..hi
doch das mit wikipedia ist schon richtig, das hab ich auch immer dort geholt..^^
es gibt so keine 3 möglichkeit, da es ja eben darauf ankommt welche drehung du zuert machst......! matrizenmultiplikaton ist ja nicht vertauschbar...also kannst du auch nicht sagen weil du bei jeder seite um einen gleichen winkel drehst könntest du das vereinfachen. (ausser halt alle matrizen der jeweiligen drehung in der richtigen reihenfolge(!) miteinander multiplizieren)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Sa 08.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum arbeitest du hier mit homogenen Koo und drehst nicht einfach im 3d?
2. im Prinzio gibts sicher ne Vereinfachung, weil man drei Drehungen , die durch achsen in einem Pkt gehen immer durch 2 ersetzen kann, aber die rauszufinden ist laenger als die einfache Matrixmultipl. bzw. du kannst sie dadurch am einfachsten finden!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 09.08.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...ist es nicht so das sich automatisch der schnellste weg ergibt wenn man die (dreh)matrizen miteinander multipliziert?...also wenn man immer eine +90grad drehung macht, kommt man nach vier mal wieder an den ausgangspunkt... wenn man jetzt diese 90grad drehmatrix hoch 4 rechnet, gibt es doch gleich die einheitsmatrix, also den schnellsten weg...?
christian
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Hallo
> ...ist es nicht so das sich automatisch der schnellste weg
> ergibt wenn man die (dreh)matrizen miteinander
> multipliziert?...also wenn man immer eine +90grad drehung
> macht, kommt man nach vier mal wieder an den
> ausgangspunkt... wenn man jetzt diese 90grad drehmatrix
> hoch 4 rechnet, gibt es doch gleich die einheitsmatrix,
> also den schnellsten weg...?
Also erstens dachte ich, du musst um 45° drehen, nicht um 90 ;)
Aber ja, die Abbildungsmatrizen hintereinanderschalten.. nur musst du wie schon mehrfach erwähnt die Reihenfolge beachten...
z.B wenn du 2 Abbildungen f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z hast, dann ist die Abbildung h: X [mm] \to [/mm] Z nicht f [mm] \circ [/mm] g sondern g [mm] \circ [/mm] f, denn dann hast du h = g(f(x))... also wird zuerst das hintere berechnet.
Hier mit deinen Matrizen ist es gleich. Du hast eine hintereinanderschaltung von Abbildungsmatrizen.. jetzt kommt es auf die Reihenfolge an!
Grüsse, Amaro
> christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 09.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte doch gesagt, dass man immer 3 Drhungen auch durch 2 darstellen kann. wenn du besonders einfache drehungen nimmst, kannst du die natuerlich alle einfach im Kopf zusammenrechnen, wie in deinem Beispiel. Wenn man um dieselbe Achse nacheinander um die winkel a,b,c dreht, kannst natuerlich gleich um a+b+c drehen.
Wenn aber deine Vorstellung das nicht direkt sagt, dann ist es schneller die 3 m. zu multiplizieren.
ueberleg ob du einfach sagen kannst wenn du 4 mal um [mm] 90^o [/mm] drehst aber nacheinander um x,y,z,x achse, welche Drehung das insgesamt ist?
Also gibt es zwar Vereinfachungen, um sie zu finden muss man aber ne sehr gute raeumliche vorstellung haben, und dann muesste man das ergebnis auch noch begruenden, also anderen die vorstelung vermitteln.
Da du am Schluss ja eine matrix hast, ist klar, dass du die mit genuegend Vorstellungskraft gleich haettest hinschreiben [mm] ke\oennen. [/mm] ( meins versagt dabei)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 09.08.2009 | | Autor: | Alex10 |
Hallo leduart, mit der Drehung im 3D meinst du folgende Matrizen: http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix? Die könnte ich auch nehmen anstatt die 4x4. Die Matrix "Drehung mit beliebigem Einheitsvektor v=(v1,v2,v3)T als Drehachse" kann ich ja nicht nehmen, weil die Drehachsen bei mir ja die Koordinatenachsen sind.
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Hallo
Die Frage ist ja, wie du überhaupt auf diese 4x4 Matrizen gekommen bist.. wir sind im [mm] \IR^{3} [/mm] und die Drehung in diesem Raum wird durch die Drehmatrizen beschrieben, die du eben auf Wikipedia gefunden hast. Was soll da eine vierte Koordinate?
Jetzt nochmals alles durchlesen, die Hintereinanderschaltung richtig mache und dann ist die Aufgabe gelöst.. na? :)
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