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Hallo,
kann mir jemand erklären wei man den Drehwinkel, die Drehachse und die Eulerschen Winkel einer Matrix bestimmt? Zum Beispiel an dieser Matrix:
[mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & -\gamma -1 & \gamma \\ \gamma+1 & \gamma & -1 \\ \gamma & 1 & \gamma+1 } [/mm]
wobei [mm] \gamma [/mm] aus der Menge der reellen Zahlen stammt.
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Hallo,
ich würde zuerst die Drehachse bestimmen. Das ist die Richtung des Eigenvektors.
Diesen Eigenvektor kannst Du zu einer OGB Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
Bezgl. dieser Basis hat die Drehmatrix die Darstellung [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},
[/mm]
Hieraus kannst Du den Drehwinkel ermitteln.
Bzgl. der Eulerwinkel will ich mich lieber vorerst heraushalten - hab' ich vergessen, wie das geht. "Irgendwie" ein Produkt von Drehungen um die Koordinatenachsen. Oder ähnlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Ok und wie bestimme ich den Drehwinkel aus der Drehmatrix?
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> Ok und wie bestimme ich den Drehwinkel aus der Drehmatrix?
Hab ich doch eigentlich gesagt:
Bzgl. einer passenden Basis hat die darstellende Matrix Deiner Abbildung dann die Gestalt
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & -b \\ 0 & b & a \end{pmatrix}(=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix})
[/mm]
Hieraus errechnest Du den Drehwinkel.(Gleichsetzen, auflösen.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Irgendwie krieg ich da keine Eigenwerte raus, weil bei mir dann wenn ich dir p-q-Formel benutzen etwas negatives unter der Wurzel steht. Was nun?
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> Irgendwie krieg ich da keine Eigenwerte raus,
Hallo,
dann hast Du entweder falsch gerechnet, oder die Matrix hat keinen EW.
In letzterem Falle allerdings ist es dann auch keine Drehung.
Daß Du bei einer 3x3 Matrix keinen reellen Eigenwert hast, kann aber ar nicht vorkommen, denn jedes reelle Polynom dritten Grades hat eine reelle Nullstelle.
Genaueres kann ich nur sagen, wenn Du es hier vorrechnest.
Anzumerken ist, daß es bei einer Drehung nur einen Eigenwert und -vektor gibt.
Und wenn Du verstanden hast, was ein Eigenwert ist, sollte Dir sofort einfallen, wie groß der im Falle einer Drehung ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Ja das ist alles klar. Also ich hab das bestimmt fünf mal durchgerechnet. Aber ich glaub ich weiß wo mein Problem liegt... ich hab mich vertan schon gut. ok also wenn ich den Eigenwert bzw. den Eigenvektor hab. Wie genau bestimmt man dann die Drehachse und wie den Drehwinkel? Also für den Drehwinkel muss ich die Matrix bezügl. der OGB aufstellen nicht wahr? und dann?
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> also wenn ich
> den Eigenwert bzw. den Eigenvektor hab. Wie genau bestimmt
> man dann die Drehachse
Hallo,
weißt Du wirklich, was ein Eigenvektor ist???
Die Drehachse geht in Richtung des Eigenvektors.
> und wie den Drehwinkel? Also für den
> Drehwinkel muss ich die Matrix bezügl. der OGB aufstellen
> nicht wahr?
Ja.
und dann?
Wie gesagt:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & -b \\ 0 & b & a \end{pmatrix}(=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}) [/mm] $
Und das hieraus entstehende GS nach [mm] \phi [/mm] auflösen.
Gruß v. Angela
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> Ja das ist alles klar. Also ich hab das bestimmt fünf mal
> durchgerechnet.
Hallo,
darf ich mal fragen, wo diese Matrix eigentlich herkommt?
Hast Du Dir die ausgedacht?
Wenn nein: wie lautet die Aufgabe?
(Die genaue Mitteilung der Aufgabe erspart mitunter viel Zeit.)
Sollst Du vielleicht erstmal bestimmen, für welche [mm] \gamma [/mm] das Ding überhaupt eine Drehmatrix ist?
Weißt Du, woran man eine Drehmatrix erkennt?
Orthogonal und det=1.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 22.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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