Drei Schubladen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mi 09.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Mit einer Wahrscheinlichkeit von r = 0,5 befindet sich ein Euro im Schreibtisch des Geschäftsführers. Dieser Schreibtisch hat drei Schubfächer, in denen sich der Euro mit je gleicher Wahrscheinlichkeit befinden kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit s dafür, dass sich der Euro im dritten Schubfach befindet, wenn im ersten und im zweiten bereits vergeblich nach ihm gesucht wurde? |
Hi Leute!
Ich hab Probleme mit dieser eigentlich bestimmt windigen Aufgabe. Ich hab mir natürlich auch schon Gedanken dazu gemacht. Ich hab im ersten Schritt erst einmal Ereigniss definiert:
[mm] $A_1 [/mm] = $ 1€ befindet sich im Schreibtisch
[mm] $A_2 [/mm] = $ 1€ befindet sich nicht im Schreibtisch
[mm] $B_1 [/mm] = $ 1€ befindet sich in Schublade 3
Daraus folgt, dass:
[mm] $P(A_1) [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
[mm] $P(A_2) [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
[mm] $P(B_1) [/mm] = [mm] \frac13$
[/mm]
Des Weiteren ist mir durch die Aufgabenstellung klar, dass es sich hier um eine Bayes-Aufgabe handeln muss, weil es sich nach einer bedingten Wahrscheinlichkeit anhört. Die Textstellt gibt darüber Aufschluss: "... dass sich der Euro im dritten Schubfach befindet, wenn im ersten und im zweiten bereits...".
Ich hab dann noch die Formel für das Bayes-Theorem:
$P(A | B) = [mm] \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}$
[/mm]
Hierzu benötige ich also nun die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] $B_1$ [/mm] unter der Bedingung [mm] $A_1$ [/mm] (die Aufgabe verlangt ja, dass man den 1€ findet) eintritt: $P(B | A) = [mm] A_1 \cdot B_1 [/mm] = [mm] \frac12 \cdot \frac13 [/mm] = [mm] \frac16$. [/mm] Alle anderen Wahrscheinlichkeit, die benötigt werden, sind ja schon gegeben:
Somit folgt:
[mm] $\Rightarrow [/mm] P(A | B) = [mm] \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] P(A | B) = [mm] \frac{\frac16 \cdot \frac12}{\frac13} [/mm] = [mm] \frac14$
[/mm]
Ist mein Ergebnis richtig?
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Hallo bandchef,
> Ist mein Ergebnis richtig?
ja, das ist richtig.
Gruß, Diophant
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Hallo bandchef,
das Ergebnis finden die meisten Menschen intuitiv mindestens schwer zu verstehen, wenn nicht gar falsch. Dabei kommt man auch ohne Bayes ziemlich leicht darauf, wenn man von einer Gleichverteilung ausgeht, also einem Laplace-Experiment.
Das hat erst einmal folgende möglichen Ausgänge:
1) Euro im Schreibtisch, in Schublade 1
2) Euro im Schreibtisch, in Schublade 2
3) Euro im Schreibtisch, in Schublade 3
Nun ist man geneigt, den Fall "Euro nicht im Schreibtisch" einfach als einen einzigen Fall abzutun, genau daher rührt die intuitive Fehleinschätzung. Denn um tatsächlich die gleiche Wahrscheinlichkeit für "Euro im Schreibtisch" und "Euro nicht im Schreibtisch" zu haben, muss der fehlende Fall nun eben auch dreimal repräsentiert sein. Es gibt also drei weitere mögliche Ausgänge:
4) Euro nicht im Schreibtisch
5) Euro nicht im Schreibtisch
6) Euro nicht im Schreibtisch
Nun sind durch Untersuchung die Fälle 1 und 2 ausgeschlossen worden. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass Fall 3 wahr ist, und das ist eben nur eine von vier Möglichkeiten.
Da hier eine Abhängigkeit vorliegt, ist es nicht so einfach, intuitiv die richtigen Fälle zu formulieren, aber in der Praxis hilft es oft, sich eine etwas unsinnige Entsprechung zu denken, nämlich folgende Fälle:
1) Euro im Schreibtisch, in Schublade 1
2) Euro im Schreibtisch, in Schublade 2
3) Euro im Schreibtisch, in Schublade 3
4) Euro nicht im Schreibtisch, schon gar nicht in Schublade 1
5) Euro nicht im Schreibtisch, schon gar nicht in Schublade 2
6) Euro nicht im Schreibtisch, schon gar nicht in Schublade 3
Jetzt hat man den eigentlich nicht unterteilbaren Fall auch in drei Unterfälle aufgefächert. So lässt sich (nach wie vor Gleichverteilung vorausgesetzt) auch im Kopf leicht nachverfolgen, wie hier die Lösung aussieht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mi 09.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine super erweiternde Antwort! Ich hab mir die Antwort durchgelesen und muss sagen, dass ich das hier wirklich zur Abwechslung mal durchschaut hab. Deine sowie meine Lösung!
Danke an euch alle und eure super Hilfen!
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