Drei Winkel und Längen gegeben < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:51 So 01.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
Frage aus der Mechanik (räumliches zentrales Kraftsystem).
Gegeben:
F1=2kN, F2=3kN, F3=4kN
Dazu die Winkel:
(F1,F2)=120°, (F2,F3)=90°, (F3,F1)=60°
Gesucht:
Länge der Resultierenden und jeweils die Winkel
Ich habe nun F1 als x-Achse gesetzt und anschließend F2 und F3 als Vektoren bestimmt, das war relativ aufwendig.
Ich habe mir außerdem Gedanken gemacht, dass die Resultierende zweier Vektoren im ebenen System ja in die eine Richtung F1+F2*cos(alpha), in die andere Richtung F2*sin(alpha) ist, aber auch damit kam ich nicht so recht weiter.
Gibt es da eine geschicktere Methode, ranzugehen? Habe einiges versucht, im Prinzip brauche ich ja die Summe der Kräfte in x-, y- und z-Richtung, allerdings habe ich ja keine konkreten Kraftvektoren gegeben.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hätte erst mal die 2 rechtwinkligen in die x-y achsen gelegt, Laenge und Winkel der daraus Resultierenden dann einfach. dann kennst du x und z Komponente von F1 und kanst aus dem Betrag auf die z Komp. schliessen.
obs noch einfacher geht weiss ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:28 So 01.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Das habe ich nicht ganz verstanden.
Also F2 in y-Achse, F3 in x-Achse, dann erhalte ich F2=(0|3|0) und F3=(4|0|0).
Wie komme ich von hier am effektivsten an den F1-Vektor? Ein Gleichungssystem mit den beiden Skalarprodukten (2 Gleichungen, 3 Unbekannte -> Vielfaches von einem Vektor -> durch seinen Betrag teilen -> mit 2kN multiplizieren) scheint mir zu kompliziert bzw. zu umständlich.
Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 So 01.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Als Lösung des LGS erhalte ich für die Komponenten a|b|c von F1 einfach nur a=b=0. Das kann es irgendwie nicht sein. Als ich die beiden Vektoren mit 120 Grad in die x-y-Ebene gelegt hatte, war es über Skalarprodukt=0 einfacher, den verbleibenden Vektor zu berechnen...
Wie komm ich hier nun weiter?
EDIT:
Huch, eine Gleichung vergessen. Für c erhalte ich Wurzel(2)*b, also alles ok => t*(1|-1|-1,41)
Jetzt noch einen Faktor davor, dass der Betrag 2 ist (in dem Fall ist t=1) und ich habe alle drei Vektoren, korrekt? Von dort an kann ich ja alles problemlos rechnen.
Hättest du das auch so gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht ganz , wie du zu 3 gleichungen kommst. die xKomponente kriegst du, weil du den Winkel und die Betraege kennst, ebenso die y Komponente. wo sind da gleichungen mit unbekanntenes sei denn du nennst [mm] F1_x=cos(F1,F2)/|F2| [/mm] ne Gleichung mit Unbekannten? (F2 in x-Richtung) entsprechend [mm] F1_y
[/mm]
dann nur noch aus dem Betrag [mm] F1_z.
[/mm]
Wie kommst du auf deine Werte?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 So 01.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Verstehe deinen Weg, auf die Vektorform zu kommen, leider immer noch nicht. Lassen wir doch die Längen erstmal außer Acht, wichtig sind zunächst die Richtungen. Dann kann man nachher immer noch normieren und mal nehmen.
Mein Weg:
Sei F1=(a|b|c)
Dann ist [mm] cos(120°)=\bruch{(a|b|c)*(0|3|0)}{3\wurzel{a^2+b^2+c^2}} [/mm] und somit [mm] b=-0,5\wurzel{a^2+b^2+c^2} [/mm] (I)
Analog dazu [mm] a=0,5\wurzel{a^2+b^2+c^2} [/mm] (II)
I+II: a+b=0
Einsetzen in I: [mm] a=0,5\wurzel{a^2+(-a)^2+c^2}
[/mm]
Liefert: [mm] c=\pm\wurzel{2}a
[/mm]
Somit Vektor von F1: [mm] t*(1|-1|\pm\wurzel{2})
[/mm]
Betrag ist zufälligerweise schon 2, also t=1.
Damit habe ich [mm] F1=(1|-1|\pm\wurzel{2}) [/mm] F2=(0|3|0), F3=(4|0|0) und kann damit alle Berechnungen vornehmen.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig , ich hät nur immer |F1| gleich eingesetzt statt de Wurzel.
ob du um + 120° oder -120° drehst gibt dieselbe Komponente.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:59 So 01.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Noch eine konkrete Frage zu meiner Rechnung.
Ich habe dort ja t=1 gesetzt, denkbar wäre aber auch t=-1. Das gleiche gilt, wenn ich statt nach a nach b auflöse, auch dann habe ich alles mit dem Faktor -1. Dann käme weiterhin der richtige Betrag raus, die Winkel wären nun aber falsch. Wie schränke ich das ein, ohne immer die Probe machen zu müssen?
Muss ich schreiben "Suche ein [mm] \pm{t}, [/mm] für das Betrag=2 gilt" und dann ein "Probe, ob +t oder -t"?
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 So 01.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Das Problem liegt darin, dass das negative Vorzeichen vom Ergebnis des Cosinus nachher wegquadriert wird. Ob ich 60 oder 120 Grad voraussetze, am Ende erhalte ich immer das gleiche Ergebnis (logisch, da in der "echten" Vektorrechnung die Gerade ja unendlich lang ist und somit beide Winkel existieren).
Lässt sich also ohne Probe nichts machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 03.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 03.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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