Dreieck-Verhältnis < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck ABC mit den Seiten a,b und [mm] c.\alpha [/mm] sei der Innenwinkel bei A.Zeigen Sie,dass die Winkelhalbierende des Winkels [mm] \alpha [/mm] die Seite [mm] a=\overline{BC} [/mm] im Verhältnis c:b teilt.
Hinweis: Die Winkelhalbierende [mm] \overrightarrow{AT} [/mm] kann mithilfe der Einheitsvektoren [mm] \bruch{1}{b}*\vec{b} [/mm] und [mm] \bruch{1}{c}*\vec{c} [/mm] dargestellt werden. |
Hallo zusammen^^
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hab versucht diese Aufgabe zu lösen,komme jedoch nicht mehr weiter.Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Zunächst bin ich mit einer geschlossenen Vektorkette an die Sache rangegangen:
[mm] \overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}
[/mm]
Und dann hab ich diese Vektoren als Linearkombination der Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] ausgedrückt.
[mm] \overrightarrow{AT}=\bruch{1}{b}*\vec{b}+ \bruch{1}{c}*\vec{c}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{TB}=-\alpha*\vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BA}=\vec{c}=\vec{b}+\vec{a}
[/mm]
Jetzt kann ich doch schreiben:
[mm] \bruch{\vec{b}}{b}+\bruch{\vec{b}+\vec{a}}{c}-\alpha*\vec{a}+\vec{b}+\vec{a}=\vec{0}
[/mm]
Und klammere [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aus:
[mm] \vec{a}*(\bruch{1}{c}-\alpha+1)+\vec{b}*(\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}+1)=\vec{0}
[/mm]
Dann hab ich folgendes Gleichungssystem:
1.) [mm] \bruch{1}{c}-\alpha+1=0
[/mm]
2.) [mm] \bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}+1=0
[/mm]
Das System kann man aber nicht lösen,weiß jemand wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei das Dreieck ABC mit den Seiten a,b und [mm]c.\alpha[/mm]
> sei der Innenwinkel bei A.Zeigen Sie,dass die
> Winkelhalbierende des Winkels [mm]\alpha[/mm] die Seite
> [mm]a=\overline{BC}[/mm] im Verhältnis c:b teilt.
> Hinweis: Die Winkelhalbierende [mm]\overrightarrow{AT}[/mm] kann
> mithilfe der Einheitsvektoren [mm]\bruch{1}{b}*\vec{b}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{c}*\vec{c}[/mm] dargestellt werden.
> Hallo zusammen^^
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich hab versucht diese Aufgabe zu lösen,komme jedoch nicht
> mehr weiter.Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Zunächst bin ich mit einer geschlossenen Vektorkette an die
> Sache rangegangen:
>
> [mm]\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}[/mm]
>
> Und dann hab ich diese Vektoren als Linearkombination der
> Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] ausgedrückt.
>
>
> [mm]\overrightarrow{AT}=\bruch{1}{b}*\vec{b}[/mm]
Das ist Unfug. Du behauptest damit, dass [mm] \overrightarrow{AT} [/mm] den Betrag 1 hat.
Gruß Abakus
> [mm]\overrightarrow{TB}=-\alpha*\vec{a}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{BA}=\vec{c}=\vec{b}+\vec{a}[/mm]
>
> Jetzt kann ich doch schreiben:
>
> [mm]\bruch{\vec{b}}{b}+\bruch{\vec{b}+\vec{a}}{c}-\alpha*\vec{a}+\vec{b}+\vec{a}=\vec{0}[/mm]
>
> Und klammere [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] aus:
>
> [mm]\vec{a}*(\bruch{1}{c}-\alpha+1)+\vec{b}*(\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}+1)=\vec{0}[/mm]
>
> Dann hab ich folgendes Gleichungssystem:
>
> 1.) [mm]\bruch{1}{c}-\alpha+1=0[/mm]
>
> 2.) [mm]\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}+1=0[/mm]
>
> Das System kann man aber nicht lösen,weiß jemand wo mein
> Fehler liegt?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Das war nur ein Tippfehler,ich hab vergessen noch [mm] +\bruch{1}{c}*\vec{c} [/mm] dazu zu schreiben.Ich hab mit [mm] \overrightarrow{AT}=\bruch{1}{b}*\vec{b}+\bruch{1}{c}*\vec{c} [/mm] weitergerechnet,mein Fehler muss also ncoh weiter in der Rechnung liegen,ich weiß aber nicht wo ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Das war nur ein Tippfehler,ich hab vergessen noch
> [mm]+\bruch{1}{c}*\vec{c}[/mm] dazu zu schreiben.Ich hab mit
> [mm]\overrightarrow{AT}=\bruch{1}{b}*\vec{b}+\bruch{1}{c}*\vec{c}[/mm]
> weitergerechnet,mein Fehler muss also ncoh weiter in der
> Rechnung liegen,ich weiß aber nicht wo ?
>
> lg
[mm] \overrightarrow{AT} [/mm] ist nicht die Summe von zwei Einheitsvektoren, sondern ein Vielfaches dieser Summe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Das war nur ein Tippfehler,ich hab vergessen noch
> > [mm]+\bruch{1}{c}*\vec{c}[/mm] dazu zu schreiben.Ich hab mit
> >
> [mm]\overrightarrow{AT}=\bruch{1}{b}*\vec{b}+\bruch{1}{c}*\vec{c}[/mm]
> > weitergerechnet,mein Fehler muss also ncoh weiter in der
> > Rechnung liegen,ich weiß aber nicht wo ?
> >
> > lg
> [mm]\overrightarrow{AT}[/mm] ist nicht die Summe von zwei
> Einheitsvektoren, sondern ein Vielfaches dieser Summe.
Ok,vielen Dank.
Das heißt, [mm] \overrightarrow{AT}=\alpha(\bruch{1}{b}\cdot{}\vec{b}+\bruch{1}{c}\cdot{}\vec{c})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{TB}=-\beta*\vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BA}=-\vec{c}
[/mm]
Jetzt kann ich doch schreiben;
[mm] \overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}
[/mm]
Das heißt:
[mm] \alpha\bruch{1}{b}\cdot{}\vec{b}+\alpha\bruch{1}{c}\cdot{}\vec{c}-\beta*\vec{a}-\vec{c}=0
[/mm]
Aber irgendwie ergibt das keinen Sinn,weil ich das entstehende LGS nicht lösen kann.Da kommt für [mm] \beta=0 [/mm] raus.Das kann ja nicht sein.
Weiß jemand,was ich hier falsch mache?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > Das war nur ein Tippfehler,ich hab vergessen noch
> > > [mm]+\bruch{1}{c}*\vec{c}[/mm] dazu zu schreiben.Ich hab mit
> > >
> >
> [mm]\overrightarrow{AT}=\bruch{1}{b}*\vec{b}+\bruch{1}{c}*\vec{c}[/mm]
> > > weitergerechnet,mein Fehler muss also ncoh weiter in der
> > > Rechnung liegen,ich weiß aber nicht wo ?
> > >
> > > lg
> > [mm]\overrightarrow{AT}[/mm] ist nicht die Summe von zwei
> > Einheitsvektoren, sondern ein Vielfaches dieser Summe.
>
> Ok,vielen Dank.
>
> Das heißt,
> [mm]\overrightarrow{AT}=\alpha(\bruch{1}{b}\cdot{}\vec{b}+\bruch{1}{c}\cdot{}\vec{c})[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{TB}=-\beta*\vec{a}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BA}=-\vec{c}[/mm]
>
> Jetzt kann ich doch schreiben;
>
> [mm]\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}[/mm]
>
> Das heißt:
>
> [mm]\alpha\bruch{1}{b}\cdot{}\vec{b}+\alpha\bruch{1}{c}\cdot{}\vec{c}-\beta*\vec{a}-\vec{c}=0[/mm]
>
> Aber irgendwie ergibt das keinen Sinn,weil ich das
> entstehende LGS nicht lösen kann.Da kommt für [mm]\beta=0[/mm]
> raus.Das kann ja nicht sein.
> Weiß jemand,was ich hier falsch mache?
>
Du sollst doch nur ein Verhältnis von Streckenlängen nachweisen:
[mm] \bruch{|\overrightarrow{TB}|}{|\overrightarrow{TC}|}=\bruch{c}{b}
[/mm]
Schau dir also mal die beiden Längen an und versuche, das Verhältnis nachzuweisen.
Übrigens: [mm] \alpha [/mm] ist der Winkel bei A, benutze also stattdessen $r_$ oder [mm] \lambda [/mm] als reelle Variable.
Gruß informix
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