Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Do 26.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Im Dreieck ABC teilt der Punkt D die Seite [mm] \overline{BC} [/mm] im Verhältnis 3:1.
In welchem Verhältnis teilt die Transversale [mm] \overline{AD} [/mm] die Seitenhalbierende durch C ? |
Hallo^^
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hab mich mal an noch eine Verhältnisteilungsaufgabe versucht,komme hier aber nicht mehr weiter.
Den Strahlensatz kann man hier nicht anwende,also hab ich es mit einer geschlossenen Vektorkette versucht.
[mm] \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TA}=\vec{0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AS}=\alpha*\overrightarrow{AD}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{ST}=\beta*\overrightarrow{CT}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{TA}=-\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}
[/mm]
Jetzt wollte ich die Vektoren [mm] \overrightarrow{AD},\overrightarrow{CT} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] ausdrücken.
[mm] \overrightarrow{AD}=\vec{b}+\bruch{1}{4}\vec{c}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CT}=-\vec{b}+\bruch{1}{2}\vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}=\vec{a}
[/mm]
Stimmt meine Rechnung bis hier hin so,ich glaube nämlich nicht,
weil wenn ich mit diesen Werten weiterrechne,komme ich einmal auf [mm] \alpha=\beta=0 [/mm] und einmal auf [mm] \alpha=\beta=1.
[/mm]
Da kann also irgendwas nicht stimmen.
Weiß jemand wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy,
Dein Ansatz sieht gut aus; ich finde auch keinen Fehler darin.
Für die Rechnung wirst Du ja noch [mm] \vec{a}=\vec{b}+\vec{c} [/mm] benötigt haben.
Wie kommst Du denn auf die angegebenen Werte? Hast Du berücksichtigt, dass [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] nicht linear unabhängig sind (siehe Gleichung oben)?
Übrigens: es ist sehr gut, dass Du eine Grafik mitgibst. Da kann man Deinen Ansatz wunderbar nachvollziehen. Danke!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Do 26.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> Dein Ansatz sieht gut aus; ich finde auch keinen Fehler
> darin.
>
> Für die Rechnung wirst Du ja noch [mm]\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}[/mm]
> benötigt haben.
>
> Wie kommst Du denn auf die angegebenen Werte? Hast Du
> berücksichtigt, dass [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] nicht linear
> unabhängig sind (siehe Gleichung oben)?
>
> Übrigens: es ist sehr gut, dass Du eine Grafik mitgibst. Da
> kann man Deinen Ansatz wunderbar nachvollziehen. Danke!
>
Danke erstmal.
Ok,wenn bis hier hin alles stimmt,dann schreibn ich mal auf wie ich weitergerechnet habe,vielleicht ist ja da ein Fehler.
Ich hab ja jetzt
[mm] \overrightarrow{AD}=\vec{b}+\bruch{1}{4}\vec{c}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CT}=-\vec{b}+\bruch{1}{2}\vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}=\vec{a}
[/mm]
Jetzt kann ich ja schreiben [mm] \alpha\cdot{}\overrightarrow{AD}+\beta\cdot{}\overrightarrow{CT}-\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}=\vec{0}.
[/mm]
DAs ist das gleiche wie [mm] \alpha*(\vec{b}+\bruch{1}{4}\vec{c})+\beta*(-\vec{b}+\bruch{1}{2}\vec{a})-\bruch{1}{2}\vec{a}=\vec{0}.
[/mm]
Das schreib ich jetzt nochmal um,indem ich die Vektoren ausklammere:
[mm] \vec{a}*(\bruch{1}{2}\beta-\bruch{1}{2})+\vec{b}*(\alpha-\beta)+\vec{c}*(\bruch{1}{4}\alpha)=\vec{0}.
[/mm]
Jetzt habe ich ein Gleichungssystem
1.) [mm] \bruch{1}{2}\beta-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
2.) [mm] \alpha-\beta=0
[/mm]
3.) [mm] \bruch{1}{4}\alpha=0
[/mm]
Und wenn ich dieses System löse hab ich einmal [mm] \alpha=\beta=0 [/mm] und einmal [mm] \alpha=\beta=1 [/mm] raus.
Da kann was nicht stimmen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Do 26.02.2009 | | Autor: | glie |
> > Hallo Mandy,
> >
> > Dein Ansatz sieht gut aus; ich finde auch keinen Fehler
> > darin.
> >
> > Für die Rechnung wirst Du ja noch [mm]\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}[/mm]
> > benötigt haben.
> >
> > Wie kommst Du denn auf die angegebenen Werte? Hast Du
> > berücksichtigt, dass [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] nicht linear
> > unabhängig sind (siehe Gleichung oben)?
> >
> > Übrigens: es ist sehr gut, dass Du eine Grafik mitgibst. Da
> > kann man Deinen Ansatz wunderbar nachvollziehen. Danke!
> >
>
> Danke erstmal.
> Ok,wenn bis hier hin alles stimmt,dann schreibn ich mal
> auf wie ich weitergerechnet habe,vielleicht ist ja da ein
> Fehler.
>
> Ich hab ja jetzt
>
> [mm]\overrightarrow{AD}=\vec{b}+\bruch{1}{4}\vec{c}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{CT}=-\vec{b}+\bruch{1}{2}\vec{a}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vec{a}[/mm]
>
> Jetzt kann ich ja schreiben
> [mm]\alpha\cdot{}\overrightarrow{AD}+\beta\cdot{}\overrightarrow{CT}-\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}=\vec{0}.[/mm]
>
> DAs ist das gleiche wie
> [mm]\alpha*(\vec{b}+\bruch{1}{4}\vec{c})+\beta*(-\vec{b}+\bruch{1}{2}\vec{a})-\bruch{1}{2}\vec{a}=\vec{0}.[/mm]
>
> Das schreib ich jetzt nochmal um,indem ich die Vektoren
> ausklammere:
>
> [mm]\vec{a}*(\bruch{1}{2}\beta-\bruch{1}{2})+\vec{b}*(\alpha-\beta)+\vec{c}*(\bruch{1}{4}\alpha)=\vec{0}.[/mm]
>
> Jetzt habe ich ein Gleichungssystem
>
> 1.) [mm]\bruch{1}{2}\beta-\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
> 2.) [mm]\alpha-\beta=0[/mm]
>
> 3.) [mm]\bruch{1}{4}\alpha=0[/mm]
>
> Und wenn ich dieses System löse hab ich einmal
> [mm]\alpha=\beta=0[/mm] und einmal [mm]\alpha=\beta=1[/mm] raus.
> Da kann was nicht stimmen?
>
> lg
Fehler ist eigentlich ganz einfach... das Dreieck ist ja eine ebene Figur und diese Ebene wird von ZWEI linear unabhängigen Vektoren aufgespannt!!
Du gehst aber davon aus, dass [mm] \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{c} [/mm] linear unabhängig sind. Das stimmt aber nicht. Du kannst [mm] \overrightarrow{c} [/mm] durch [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] ausdrücken, etwa [mm] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}
[/mm]
Damit solltest du dann nur noch zwei Gleichungen bekommen und die richtigen Werte für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta
[/mm]
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 26.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
> Fehler ist eigentlich ganz einfach... das Dreieck ist ja
> eine ebene Figur und diese Ebene wird von ZWEI linear
> unabhängigen Vektoren aufgespannt!!
> Du gehst aber davon aus, dass
> [mm]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{c}[/mm] linear unabhängig sind.
Echt?Tu ich das? Ich bin eigentlich davon ausgegangen,dass die drei Vektoren linear abhängig sind.Wo in meiner Rechnung habt ihr denn gemerkt,dass ich von was anderem ausgehen würde?
> Das stimmt aber
> nicht. Du kannst [mm]\overrightarrow{c}[/mm] durch
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ausdrücken, etwa
> [mm]\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}[/mm]
Heißt das ich darf in meiner Rechnun nicht den Vektor [mm] \vec{c} [/mm] stehen lassen und muss ihn durch [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ausdrücken?
Aber warum?Irgendwie versteh ich das grad nicht...???
> Damit solltest du dann nur noch zwei Gleichungen bekommen
> und die richtigen Werte für [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
>
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Do 26.02.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo
>
> > Fehler ist eigentlich ganz einfach... das Dreieck ist ja
> > eine ebene Figur und diese Ebene wird von ZWEI linear
> > unabhängigen Vektoren aufgespannt!!
> > Du gehst aber davon aus, dass
> > [mm]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/mm] und
> > [mm]\overrightarrow{c}[/mm] linear unabhängig sind.
>
> Echt?Tu ich das? Ich bin eigentlich davon ausgegangen,dass
> die drei Vektoren linear abhängig sind.Wo in meiner
> Rechnung habt ihr denn gemerkt,dass ich von was anderem
> ausgehen würde?
Du setzt die Koeffizienten in der Linearkobination, die den Nullvektor ergeben soll, alle gleich Null. Das stimmt nur wenn die drei Vektoren linear UNabhängig sind und das sind sie gerade nicht!
>
> > Das stimmt aber
> > nicht. Du kannst [mm]\overrightarrow{c}[/mm] durch
> > [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ausdrücken, etwa
> > [mm]\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}[/mm]
>
> Heißt das ich darf in meiner Rechnun nicht den Vektor
> [mm]\vec{c}[/mm] stehen lassen und muss ihn durch [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] ausdrücken? genau das heisst es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber warum?Irgendwie versteh ich das grad nicht...???
Wie gesagt, um eine Ebene darzustellen, kannst du nur ZWEI linear unabgängige Vektoren wählen, alle anderen Vektoren lassen sich dann als Kombination dieser beiden ausdrücken. Du wirst niemals drei linear unabhängige Vektoren finden, die in einer Ebene liegen!
>
> > Damit solltest du dann nur noch zwei Gleichungen bekommen
> > und die richtigen Werte für [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> >
>
>
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Do 26.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,danke,jetzt hab ich's verstanden und hab auch die richtigen Zahlen raus =)
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 26.02.2009 | | Autor: | weduwe |
[mm] \overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{EC}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}
[/mm]
[mm] \alpha\cdot (\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b})=\frac{1}2\vec{a}+\beta\cdot (\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})
[/mm]
führt (mit [mm] \vec{c}=\overrightarrow{BC}=\vec{a}-\vec{b} [/mm] )auf [mm] \alpha=\frac{4}{5} [/mm] und [mm] \beta=\frac{3}{5}
[/mm]
ich hoffe, ich habe nirgendwo a und b verwechselt 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Do 26.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> [mm]\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{EC}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}[/mm]
>
> [mm]\alpha\cdot (\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b})=\frac{1}2\vec{a}+\beta\cdot (\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})[/mm]
>
>
> führt (mit [mm]\vec{c}=\overrightarrow{BC}=\vec{a}-\vec{b}[/mm] )auf
> [mm]\alpha=\frac{4}{5}[/mm] und [mm]\beta=\frac{3}{5}[/mm]
>
> ich hoffe, ich habe nirgendwo a und b verwechselt
genau das hab ich jetzt auch raus =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 26.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
Ich hab doch noch mal ne etwas allgemeinere Frage zu solchen Aufgaben.Kann es sein,dass man bei solchen Aufgaben am Ende für [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \beta [/mm] etwas negatives raus hat oder ist es dann falsch?
Ich hab nämlich bei einer ähnlichen Aufgabe für [mm] \alpha [/mm] was negatives raus und weiß nicht ob das möglich ist???
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Do 26.02.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo
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> Ich hab doch noch mal ne etwas allgemeinere Frage zu
> solchen Aufgaben.Kann es sein,dass man bei solchen Aufgaben
> am Ende für [mm]\alpha[/mm] oder [mm]\beta[/mm] etwas negatives raus hat oder
> ist es dann falsch?
> Ich hab nämlich bei einer ähnlichen Aufgabe für [mm]\alpha[/mm] was
> negatives raus und weiß nicht ob das möglich ist???
>
> Vielen Dank
>
> lg
Sollte eigentlich nicht passieren, denn [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \beta [/mm] sind ja immer Bruchteile von Vektoren. Du hast bestimmt einen Vorzeichenfehler irgendwo eingebaut.
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Do 26.02.2009 | | Autor: | weduwe |
> Hallo
>
> Ich hab doch noch mal ne etwas allgemeinere Frage zu
> solchen Aufgaben.Kann es sein,dass man bei solchen Aufgaben
> am Ende für [mm]\alpha[/mm] oder [mm]\beta[/mm] etwas negatives raus hat oder
> ist es dann falsch?
> Ich hab nämlich bei einer ähnlichen Aufgabe für [mm]\alpha[/mm] was
> negatives raus und weiß nicht ob das möglich ist???
>
> Vielen Dank
>
> lg
das bedeutet, dass du "den betreffenden vektor von der spitze zum pfeil durchläufst"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Do 26.02.2009 | | Autor: | glie |
Gut das könnte sein, passiert aber nur wenn die Vektorkette nicht passend aufgestellt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Do 26.02.2009 | | Autor: | weduwe |
> Gut das könnte sein, passiert aber nur wenn die Vektorkette
> nicht passend aufgestellt ist.
klar,
aber umgekehrt kann man es positiv sehen und sagen, der geschlossene vektorzug ist erfreulicherweise "vorzeichenresistent"
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Do 26.02.2009 | | Autor: | glie |
Ja da gebe ich dir jetzt uneingeschränkt recht.
Sicher ein Vorteil für den ein oder anderen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,da bin ich jetzt doch etwas unsicher,ob die Aufgabe so stimmt,dann stell ich die später nochmal rein,vielleicht könnt ihr mir dann meinen Fehler sagen.
Danke nochmal =)
lg
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