Dreieck Winkel --- Wann Betrag < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mo 11.01.2010 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Punkte A(5/-1/-3), B(1/3/4), C(5/-1/2) bilden ein Dreieck.
a) Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks
b) Bestimme die Innenwinkel [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] |
Moin,
a) Ich bilde die Richtungsvektoren; die Beträge der Richtungsvektoren liefern die gesuchten Längen...
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 7}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{4\\ -4 \\ -2}
[/mm]
| [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 7} [/mm] | = 9 | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 5} [/mm] | = 5 | [mm] \vektor{4\\ -4 \\ -2} [/mm] | = 6
b) Hier weiss ich nicht, wann ich den Betrag des Skalarprodukts nehme, und wann nicht ??? Wie kann ich da systematisch vorgehen?
Kann es sein, dass ich hier gar nicht die Beträge der Richtungsvektoren nehme, aber die Vektoren aus der Richtung des jeweiligen Eckpunktes betrachten muss???
Ansatz 1
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Schnittwinkel [mm] \beta
[/mm]
cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{BC}}{ |\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{BC}|}
[/mm]
cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{-4 \\ 4 \\ 7}*\vektor{4\\ -4 \\ -2}}{|\vektor{-4 \\ 4 \\ 7}|*|\vektor{4\\ -4 \\ -2}|}
[/mm]
cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{-46}{54}
[/mm]
Schnittwinkel [mm] \gamma
[/mm]
cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{AC}*\overrightarrow{BC}}{ |\overrightarrow{AC}|*|\overrightarrow{BC}|}
[/mm]
cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{0 \\ 0 \\ 5}*\vektor{4\\ -4 \\ -2}}{|\vektor{0 \\ 0 \\ 5}|*|\vektor{4\\ -4 \\ -2}|}
[/mm]
cos [mm] \gamma [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Ansatz 2 also keine Beträge der Skalarprodukte!!
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Schnittwinkel [mm] \alpha
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}}{ |\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{-4 \\ 4 \\ 7}*\vektor{0\\ 0 \\ 5}}{|\vektor{-4 \\ 4 \\ 7}|*|\vektor{0\\ 0 \\ 5}|}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{35}{45} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 38,94°
Schnittwinkel [mm] \beta
[/mm]
cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{BC}}{ |\overrightarrow{BA}|*|\overrightarrow{BC}|}
[/mm]
cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{4 \\ -4 \\ -7}*\vektor{4\\ -4 \\ -2}}{|\vektor{4 \\ -4 \\ -7}|*|\vektor{4\\ -4 \\ -2}|}
[/mm]
cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{46}{54} [/mm] => [mm] \beta [/mm] = 31,59°
Schnittwinkel [mm] \gamma
[/mm]
cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{CA}*\overrightarrow{CB}}{ |\overrightarrow{CA}|*|\overrightarrow{CB}|}
[/mm]
cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{0 \\ 0 \\ -5}*\vektor{-4\\ 4 \\ 2}}{|\vektor{0 \\ 0 \\ -5}|*|\vektor{-4\\ 4 \\ 2}|}
[/mm]
cos [mm] \gamma [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] => [mm] \gamma [/mm] = 109,47°
Fazit: Hier nicht den "kleineren" Schnittwinkel ausrechnen, sondern die Richtung der Vektoren beginnend vom jeweiligen Eckpunkt bestimmen, und dann die Winkel ausrechen. Richtig?
Sonst habe ich das Problem, wo der stumpfe Winkel des Dreiecks liegt...
Danke & Gruß
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Hallo hase-hh
Dein zweiter Ansatz ist der richtige.
Es ist eigentlich ganz einfach: damit du jeweils den
"richtigen", also den Innenwinkel des Dreiecks erhältst,
musst du den Winkel der von dem jeweiligen Eckpunkt
weg zeigenden Seitenvektoren berechnen.
Eine andere Möglichkeit wäre, die Seitenvektoren
so zu richten, dass sie das Dreieck umlaufen, also
[mm] $\vec{a}=\overrightarrow{BC},\quad \vec{b}=\overrightarrow{CA},\quad \vec{c}=\overrightarrow{AB}$
[/mm]
Dann berechnet man zuerst die Außenwinkel und
subtrahiert sie von 180°, also wird z.B.:
[mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] 180^{\circ}-arccos\left(\frac{\vec{b}*\vec{c}}{|\vec{b}|*|\vec{c}|}\right)\ [/mm] =\ [mm] arccos\left(\frac{-\,\vec{b}*\vec{c}}{|\vec{b}|*|\vec{c}|}\right)$
[/mm]
und analog für die anderen Winkel. Auf diese Weise
muss man keine Vektoren "umkehren".
LG Al-Chw.
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