Dreieckfläche < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Do 01.03.2007 | | Autor: | matter |
| Aufgabe | Gegen:
Funktion [mm] f(z)=(z-2)e^z
[/mm]
Die Punkte A(z | 0) B (z | f(z)) C (2 | 0) begrenzen eine Dreiecksfläche. Für welchen Wert von z (z<2) entsteht bei Rotation dieser Dreiecksfläche um die x Achse ein maximales Volumen ? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt !
Als Zielfunktion habe ich die Berechnung der Dreiecksfläche angesetzt, da maximale Dreiecksfläche gleichzeitig ein maximales Volumen des Kegels bedeuten sollte.
A =| 1/2 g h |
Wobei g(Dreieck) = h (Kegel) = 2 - z
und h(Dreieck) = r (Kegel) = f(z) = [mm] (z-2)e^z
[/mm]
Nun ergibt sich als Zielfunktion
A(z) = (- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] z² + 2z - 2) [mm] e^z
[/mm]
A'(z) = [mm] (\bruch{3}{2}z [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) e^z
[/mm]
A'(z) = 0 = [mm] \bruch{3}{2}z [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
=> z = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] A(\bruch{1}{3}) \approx [/mm] 1,94 FE
Nun habe ich das Kegelvolumen zunächst über
V = [mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] r(Kegel)² h(Kegel) berechnet.
Dabei komme ich auf [mm] \approx [/mm] 9,44 VE
Nun wollte ich das ganze überprüfen und habe mir überlegt, dass man das Volen ja sicher auch über die Fläche berechnen kann. Dazu habe ich in der Flächenformel ebenfalls h und r verwendet:
[mm] \bruch{\bruch{1}{3}\pi r²h}{\bruch{1}{2} r h} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \pi [/mm] r
Also müsste ja [mm] \bruch{2}{3} \pi [/mm] r * A [mm] (\bruch{1}{3}) [/mm] = V ergeben.
Nur leider klappt das irgendwie nicht. Irgendwo muss da nen Fehler stecken nur ich sehe ihn nicht :-/
Danke für Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Fr 02.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Es ist sehr wohl ein Unterschied die Fläche des Dreiecks oder das Volumen des Kegels zu maximieren
denn (konstante Faktoren vernachlässigt):
[mm](r.h(r))' = h(r) + rh'(r) [/mm] (1)
und
[mm](r^{2}.h(r))' = 2r.h(r) + r^{2}.h'(r) = r.(2h(r) + r.h'(r)) [/mm] (2)
(1) und (2) null gesetzt ergibt i.A. unterschiedliche Lösungen.
daher bleibt dir nichts anderes übrig, als
[mm]
\bruch{3V}{\pi} = f^{2}(z).(z - 2) [/mm] zu maximieren
d.h.
[mm] 2.f.f'.(z-2) + f^{2} = 0 [/mm]
den Rest lasse ich dir zur Lösung übrig
|
|
|
|
