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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mi 29.04.2009 | | Autor: | sara6789 |
| Aufgabe | | Eine dreieckige Fläche ABC soll durch eine möglichst kurze Strecke so halbiert werden, dass die Endpunkte dieser Strecke auf b und c liegen! Gegeben sind c, b und [mm] \alpha [/mm] |
Ich hab mir gedacht ich kann die Fläche ja mit [mm] \bruch{b*c*sin\alpha}{2} [/mm] ausrechnen. Dann müsst ich mit dem Cosinussatz machen können oder?
Aber irgendwie komme ich auf kein richtiges Ergebnis.
Kann mir bitte jemand helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Eine dreieckige Fläche ABC soll durch eine möglichst kurze
> Strecke so halbiert werden, dass die Endpunkte dieser
> Strecke auf b und c liegen! Gegeben sind c, b und [mm]\alpha[/mm]
> Ich hab mir gedacht ich kann die Fläche ja mit
> [mm]\bruch{b*c*sin\alpha}{2}[/mm] ausrechnen. Dann müsst ich mit dem
> Cosinussatz machen können oder?
> Aber irgendwie komme ich auf kein richtiges Ergebnis.
> Kann mir bitte jemand helfen
Hallo Sara,
[mm] \alpha [/mm] und damit [mm] sin(\alpha) [/mm] und auch [mm] cos(\alpha) [/mm] sind ja vorgegeben.
Die Minimierung der Verbindungsstrecke - nennen wir
ihre Länge s - wird wohl dann realisiert, wenn das Drei-
eck AZY (Z=Teilpunkt auf c, Y=Teilpunkt auf b) gleich-
schenklig ist, also [mm] |\overline{AZ}|=|\overline{AY}|. [/mm] Dies muss allerdings noch
begründet werden.
Ausserdem ergibt sich noch die Frage, was man unter-
nehmen soll, wenn die berechnete Schenkellänge
[mm] |\overline{AZ}|=|\overline{AY}| [/mm] länger als [mm] |\overline{AB}| [/mm] oder als [mm] |\overline{AC}| [/mm] sein sollte.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 29.04.2009 | | Autor: | sara6789 |
und was mach ich da jetzt konkret?
also die richtige Lösung lautet: d(minimale strecke)= [mm] \wurzel{bc(1-cos\alpha)}
[/mm]
aber wie komm ich darauf?
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> und was mach ich da jetzt konkret?
> also die richtige Lösung lautet: d(minimale strecke)=
> [mm]\wurzel{bc(1-cos\alpha)}[/mm]
> aber wie komm ich darauf?
Nennen wir die von A aus gemessenen Schenkellängen
u und v.
Dann ist die Fläche des kleinen Dreiecks AZY gleich
[mm] $\bruch{1}{2}*u*v*sin(\alpha)$
[/mm]
Setzt man dies der Hälfte des Inhalts des Dreiecks ABC
gleich, so folgt [mm] u*v=\bruch{b*c}{2} [/mm] oder [mm] \blue{v=\bruch{b*c}{2*u}}
[/mm]
Nach dem Cosinussatz gilt für das Quadrat [mm] Q=d^2 [/mm] der
Verbindungsstrecke d die Gleichung
$\ [mm] Q=u^2+v^2-2*u*v*cos(\alpha)$
[/mm]
Nun kann man das v in dieser Gleichung nach der
blau markierten Gleichung ersetzen und dann die
Ableitung nach u bilden, um die Extremalaufgabe
"Q = Minimum" zu lösen.
Dann kommt man zu der angegebenen Lösung,
die allerdings nur dann gültig sein kann, falls
die entstehende Schenkellänge u (=v) nicht länger
als b oder als c ist.
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Do 30.04.2009 | | Autor: | sara6789 |
danke jetzt stimmt es =)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
