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Dreieckskonstruktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Sa 31.03.2012
Autor: Infostudent

Aufgabe
Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm] s_b [/mm] = 4,5cm zu konstruieren?

Hallo,

im gleichen Kapitel ging es um Geraden und deren Lagebeziehungen. Mir fehlt schon die grundsätzliche Idee zur Lösung. Muss ich da die Dreieckspunkte B, C und den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden mit der Seite b als Vektoren darstellen und dann schauen dass S auf der von B und C gebildeten Strecke liegt?

Falls ja habe ich zu viele Variablen. [mm] \vec{B} [/mm] kann ich vielleicht noch darstellen als [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + [mm] 5,2*\vektor{1 \\ 0}, [/mm] aber für [mm] \vec{C} [/mm] und [mm] \vec{S} [/mm] erhalte ich dann ja erst mal komplett beliebige Richtungsvektoren und da kommt dann kein lösbares Gleichungssystem raus.

        
Bezug
Dreieckskonstruktion: geeignetes Koordinatensystem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Sa 31.03.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a =
> 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm]s_b[/mm] = 4,5cm
> zu konstruieren?
>  Hallo,
>  
> im gleichen Kapitel ging es um Geraden und deren
> Lagebeziehungen. Mir fehlt schon die grundsätzliche Idee
> zur Lösung. Muss ich da die Dreieckspunkte B, C und den
> Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden mit der Seite b als
> Vektoren darstellen und dann schauen dass S auf der von B
> und C gebildeten Strecke liegt?
>  
> Falls ja habe ich zu viele Variablen. [mm]\vec{B}[/mm] kann ich
> vielleicht noch darstellen als [mm]\vektor{0 \\ 0}\ +\ 5,2*\vektor{1 \\ 0},[/mm] aber für
> [mm]\vec{C}[/mm] und [mm]\vec{S}[/mm] erhalte ich dann ja erst mal komplett beliebige
> Richtungsvektoren, und da kommt dann kein lösbares
> Gleichungssystem raus.



Hallo Infostudent,

ich würde dir vorschlagen, ein geeignetes Koordinaten-
system so zu legen, dass S der Koordinatenursprung
ist und A und C auf der x-Achse liegen. Dann kannst
du alles mit wenigen Hilfsvariablen aufschreiben, wobei
etwa  [mm] h:=\frac{b}{2} [/mm]  sich als erste anbietet. Dazu kannst du
noch einen geeigneten Winkel oder auch die Koordinaten
von B einsetzen, um dann auf ein Gleichungssystem zu
kommen.

Ausgehend von einer rechnerischen Lösung (die es
meiner Ansicht nach jedenfalls geben müsste) kannst
du dir dann auch eine eigentliche Konstruktion (wenn
möglich mittels der "klassischen" Instrumente Zirkel
und Lineal) überlegen.

LG    Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Dreieckskonstruktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Sa 31.03.2012
Autor: abakus


> > Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a =
> > 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm]s_b[/mm] = 4,5cm
> > zu konstruieren?

Hallo Infostudent,
bei gegebenen festen Längen a, c und [mm] s_b [/mm] sind die beiden Seitenverhältnisse [mm] c:s_b [/mm] und [mm] a:s_b [/mm] irgendwelche konkrete Werte.
Wenn man eine erhaltene Konstruktion dann zentrisch zu einem Dreieck A'B'C' streckt, ändern sich zwar die Längen, aber die Längenverhältnisse eben nicht.
Gib dir deshalb erst einma eine beliebige Strecke A'C' mit dem Mittelpunkt [mm] S_b [/mm] vor.  
Jetzt suchen wir nach der möglichen Lage des Punktes B'.
Er muss so liegen, dass die durch ihn mit bestimmten Streckenlängen c und [mm] s_b [/mm] das "richtige" Verhältnis haben.
Also müssen sie auf dem enstsprechenden Apolloniuskreis für dieses Verhältnis liegen.
Da auch das Verhältnis [mm] a:s_b [/mm] stimmen muss, liegt B' noch auf einem zweiten Apolloniuskreis.
Die Schnittpunkte beider Kreise zeigen die möglichen Lagen für B' an.
Abschließend wird A'B'C' mit dem Streckungszentrum [mm] S_b [/mm] so weit gestreckt, bis [mm] s_b [/mm] die richtige Länge hat.
(Wenn du mit "Apolloniuskreis" nicht anfangen kannst, dann informiere dich über den Satz des Apollonius und den äußeren und inneren Teilpunkt einer Strecke.)

Gruß Abakus



Bezug
                
Bezug
Dreieckskonstruktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:19 So 01.04.2012
Autor: abakus


> > > Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a =
> > > 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm]s_b[/mm] = 4,5cm
> > > zu konstruieren?
>  

Ich merke gerade, dass es noch einfacher geht.
Wenn man die halbe Seitenlänge von AB mit v bezeichnet, dann erzeugt die Seitenhalbierende zwei Teildreiecke  mit den Seitenlängen v, a und [mm] s_b [/mm] bzw. v, c und [mm] s_b. [/mm]
Die Seitenhalbierende schneiden AB unter einem bestimmten Winkel [mm]\phi[/mm], damit hat eines der Teildreiecke den Innenwinkel [mm]phi[/mm] und das andere den Innenwinkel 180°-[mm]\phi[/mm].
In beiden Dreiecken kann man den Kosinussatz anwenden:
[mm]a^2=s_b^2+v^2-2vs_b*cos\phi[/mm]  
[mm]c^2=s_b^2+v^2-2vs_b*cos(180°-\phi)=s_b^2+v^2+2vs_b*cos\phi[/mm]
Die Addition beider Gleichungen führt zu
[mm]a^2+c^2=2*s_b^2+2*v^2[/mm], also <span class="math">[mm](a^2+c^2)/2-s_b^2=v^2[/mm] bzw.
[mm]v^2=(\frac{a}{\wurzel{2}})^2+(\frac{c}{\wuzel{2}})^2-s_b^2[/mm].
Es lässt sich v mit Hilfe von zwei rechtwinkligen Dreiecken aus a, c und [mm] $s_b$ [/mm] konstruieren, damit sind auch beide Teildreiecke eindeutig (von Hand) konstruierbar. Rechnerisch ist die Geschichte bereits mit der Ermittlung von v gelöst. Bedingung ist natürlich <span class="math">[mm]s_b^2<(\frac{a}{\wurzel{2}})^2+(\frac{c}{\wuzel{2}})^2[/mm].
Gruß Abakus
</span>

</span>



Bezug
                
Bezug
Dreieckskonstruktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Mi 04.04.2012
Autor: Infostudent

Ich fang erst mal mit dieser Lösung an und arbeite mich dann langsam weiter vor ;)
Das Prinzip des Kreises von Apollonios habe ich verstanden, aber wie komme ich nun zu den Kreisgleichungen? Das Verhältnis von [mm] c:S_b [/mm] ist 6,5:4,5 und das von [mm] a:S_b [/mm] ist 5,2:4,5. Wie komme ich von hier nun zu einer Kreisgleichung?

Bezug
                        
Bezug
Dreieckskonstruktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mi 04.04.2012
Autor: abakus


> Ich fang erst mal mit dieser Lösung an und arbeite mich
> dann langsam weiter vor ;)
> Das Prinzip des Kreises von Apollonios habe ich
> verstanden, aber wie komme ich nun zu den Kreisgleichungen?
> Das Verhältnis von  ist 6,5:4,5 und das von  ist
> 5,2:4,5. Wie komme ich von hier nun zu einer
> Kreisgleichung?

Ich sage es nur ungern, aber: Vergiss meinen vorgeschlagenen Lösungsweg.
Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen - das hat weduwe in seinem Beitrag ausgenutzt.
Dieser Weg ist so genial einfach, dass ich mich sonstwohin beißen könnte, weil ich das nicht selbst gesehen habe...
Gruß Abakus    

Bezug
        
Bezug
Dreieckskonstruktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 So 01.04.2012
Autor: weduwe

einfach wird die konstruktion, wenn man an ein parallelogramm denkt :-)

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Dreieckskonstruktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 So 01.04.2012
Autor: abakus


> einfach wird die konstruktion, wenn man an ein
> parallelogramm denkt :-)
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]

Oder so.
[zustimm]
Gruß Abakus


Bezug
                
Bezug
Dreieckskonstruktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 So 01.04.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Sehr schön !

Da muss ich mich mit meiner ausgetüftelten Konstruktion
ja fast ein wenig schämen:
    [Dateianhang nicht öffentlich]
LG   Al



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
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