Dreiecksmatrizen p-Sylow-UG? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p>0 prim, [mm] H\subset GL(n,\IF_p) [/mm] die Untergruppe aller oberen Dreiechsmatrizen [mm] A=(A_{ij}), [/mm] deren Diagonaleinträge konstant eins sind.
(i) Verifizieren Sie, dass [mm] H\subset GL(n,\IF_p) [/mm] eine Sylow-p-Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe [mm] GL(n,\IF_p) [/mm] ist.
(ii) Beweisen Sie, dass die Gruppe H auflösbar ist. |
Ich bin mal wieder am Verzweifeln: Ich habe mir gedacht, ich fange mal damit an, die Elemente von H zu zählen. Eine Matrix hat hier [mm] n^2 [/mm] Einträge, wovon alle unterhalb der Diagonalen Null, die Diagonale 1 und der Rest beliebig mit je p verschiedenen Möglichkeiten. Ich habe also [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] Plätze in der Matrix, die beliebige Einträge haben dürfen. Beliebig heißt hier: eines der p verschiedenen Elemente, also muss ord(H) = [mm] p\bruch{n(n-1)}{2}. [/mm] Aber dann wäre H nicht mal eine p-Gruppe!!!
Irgendwo muss ich also einen Denkfehler gemacht haben, weiß aber leider nicht wo...
Die Sache mit der Auflösbarkeit sollte hoffentlich nicht mehr so schwer sein, wenn ich Teil (i) erstmal habe. Aber mit welcher Methode geht man daran? Ist es einfacher zu zeigen, dass [mm] GL(n,\IF_p) [/mm] auflösbar ist (denn Untergruppen auflösbarer Gruppen sind wieder auflösbar) oder versucht man besser eine Zerlegungsreihe zu konstruieren? Oder vielleicht doch lieber die Sache mit den Kommutatoren [mm] (D^0(G)=G, D^{i+1}(G)=[D^i(G),D^i(G)]), [/mm] also zeigen, dass [mm] D^n(G)=1?
[/mm]
Ich bin dankbar für jede erdenkliche Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei p>0 prim, [mm]H\subset GL(n,\IF_p)[/mm] die Untergruppe aller
> oberen Dreiechsmatrizen [mm]A=(A_{ij}),[/mm] deren Diagonaleinträge
> konstant eins sind.
> (i) Verifizieren Sie, dass [mm]H\subset GL(n,\IF_p)[/mm] eine
> Sylow-p-Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe
> [mm]GL(n,\IF_p)[/mm] ist.
> (ii) Beweisen Sie, dass die Gruppe H auflösbar ist.
> Ich bin mal wieder am Verzweifeln: Ich habe mir gedacht,
> ich fange mal damit an, die Elemente von H zu zählen. Eine
> Matrix hat hier [mm]n^2[/mm] Einträge, wovon alle unterhalb der
> Diagonalen Null, die Diagonale 1 und der Rest beliebig mit
> je p verschiedenen Möglichkeiten. Ich habe also
> [mm]\bruch{n(n-1)}{2}[/mm] Plätze in der Matrix, die beliebige
> Einträge haben dürfen. Beliebig heißt hier: eines der p
> verschiedenen Elemente, also muss ord(H) =
Genau.
> [mm]p\bruch{n(n-1)}{2}.[/mm] Aber dann wäre H nicht mal eine
> p-Gruppe!!!
Die Anzahl stimmt ja auch nicht, es muss [mm] $p^{\frac{b(b-1)}{2}}$ [/mm] heissen. Kannst du dir denken warum?
> Die Sache mit der Auflösbarkeit sollte hoffentlich nicht
> mehr so schwer sein, wenn ich Teil (i) erstmal habe. Aber
> mit welcher Methode geht man daran? Ist es einfacher zu
> zeigen, dass [mm]GL(n,\IF_p)[/mm] auflösbar ist (denn Untergruppen
Die Gruppe ist nicht aufloesbar. Ansonsten waere jede endliche Gruppe aufloesbar, da du sie in [mm] $GL(n,\IF_p)$ [/mm] fuer gross genuges $n$ einbetten koenntest!
> auflösbarer Gruppen sind wieder auflösbar) oder versucht
> man besser eine Zerlegungsreihe zu konstruieren? Oder
> vielleicht doch lieber die Sache mit den Kommutatoren
> [mm](D^0(G)=G, D^{i+1}(G)=[D^i(G),D^i(G)]),[/mm] also zeigen, dass
> [mm]D^n(G)=1?[/mm]
Ich wuerde mal versuchen, [mm] $D^1(H)$ [/mm] auszurechnen. Vielleicht siehst du da schon was (so spontan kann ich mir vorstellen, dass du per Induktion weitermachen kannst)...
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort!
Hmm, ehrlich gesagt, kann ich mir nicht denken, warum [mm] p^{\bruch{n(n-1)}{2}}...
[/mm]
Aber für die Aufgabe macht es Sinn, so ist es zumindest schon einmal p-Gruppe. Die Ordnung von [mm] GL(n,\IF_p) [/mm] ist [mm] \produkt_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i). [/mm] Nur wie komme ich da an die maximale p-Potenz? Wenn man das ausrechnet, ist das doch eine Summe und kein Produkt wie p^mq... Sonst kann ich doch nicht nachweisen, dass es wirklich eine p-Sylow-Untergruppe ist - eine p-Gruppe ist ja nur immer in denen enthalten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> vielen Dank für deine Antwort!
> Hmm, ehrlich gesagt, kann ich mir nicht denken, warum
> [mm]p^{\bruch{n(n-1)}{2}}...[/mm]
Wenn du drei Stellen hast, die du mit den Werten $0$ und $1$ fuellen kannst, hast du dann [mm] $2^3 [/mm] = 8$ oder $2 [mm] \cdot [/mm] 3 = 6$ Moeglichkeiten diese zu fuellen? Wenn du dir nicht sicher bist zaehl einfach nach  Hast du jetzt ne Idee?
> Aber für die Aufgabe macht es Sinn, so ist es zumindest
> schon einmal p-Gruppe. Die Ordnung von [mm]GL(n,\IF_p)[/mm] ist
> [mm]\produkt_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i).[/mm] Nur wie komme ich da an die
> maximale p-Potenz? Wenn man das ausrechnet, ist das doch
> eine Summe und kein Produkt wie p^mq... Sonst kann ich doch
> nicht nachweisen, dass es wirklich eine p-Sylow-Untergruppe
> ist - eine p-Gruppe ist ja nur immer in denen enthalten.
Also [mm] $p^n [/mm] - [mm] p^i [/mm] = [mm] p^i (p^{n-i} [/mm] - 1)$, und [mm] $p^{n-i} [/mm] - 1$ wird nicht durch $p$ geteilt. Damit kannst du Potenzen von $p$ aus dem Produkt ausklammern und erhaelst den Rest, der ganz sicher nicht durch $p$ teilbar ist (wichtig ist hier auch, dass $p$ eine Primzahl ist).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 03.05.2006 | | Autor: | madde_dong |
Danke für deine Hilfe, jetzt hab ich es begriffen. [mm] GL(n,\IF_p) [/mm] hat die Ordnung [mm] p^{\bruch{n(n-1)}{2}}*\produkt_{i=1}^{n}(p^i-1).
[/mm]
DANKE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Mi 03.05.2006 | | Autor: | madde_dong |
Die Sache mit der Aulösbarkeit ist auch ganz einfach: wir hatten in der Vorlesung einen Satz, dass jede p-Gruppe auflösbar ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Sache mit der Aulösbarkeit ist auch ganz einfach: wir
> hatten in der Vorlesung einen Satz, dass jede p-Gruppe
> auflösbar ist!
Oh, stimmt. Hab ich gar nicht dran gedacht... Das kann man schoen per Induktion beweisen :)
LG Felix
PS: Ist die Frage eigentlich fertig beantwortet? Weil du sie auf vollstaendig unbeantwortet gestellt hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Do 04.05.2006 | | Autor: | madde_dong |
Ja, aber die Induktion hat uns der Prof ja schon vorgeführt. ;)
Ja, die Frage ist beantwortet! DANKE!!! Aber ich habe nix auf unbeantwortet gestellt... Wie stelle ich es denn auf beantwortet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aber ich habe nix auf unbeantwortet gestellt... Wie stelle ich es denn auf beantwortet?
Es kann sein das du es nicht selber machen kannst. Ich habs zumindest mal umgestellt...
LG Felix
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