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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Dreiecksungleichung - Cauchy
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Dreiecksungleichung - Cauchy: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Fr 25.01.2013
Autor: AntonK

Aufgabe
[mm] \sqrt{(a+b)^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} [/mm]

Ist äquivalent zu:

[mm] (a,b)^2 \le a^2b^2 [/mm]

a und b sind aus einem euklidischen Raum. Wobei (a,b) das innere Produkt ist, sprich [mm] (a,b)=a_1b_2+a_2b_2+...+a_nb_n [/mm]

Hallo Leute,

bei uns im Skipt wird die Dreiecksungleichung für eine Metrik, den Abstand zwischen zwei Punkten mit der Cauchy-Schwarzungleichung bewiesen.

Ich verstehe aber nicht, warum diese beiden Gleichungen äquivalent sein sollen, wo ist das "+" aus der Dreiecksungleichung hin?

Könnte mir das jemand mal vorführen, woher die Äquivalenz kommt, bin am verzweifeln...

Danke schonmal!


        
Bezug
Dreiecksungleichung - Cauchy: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Fr 25.01.2013
Autor: abakus


> [mm]\sqrt{(a+b)^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}[/mm]
>  
> Ist äquivalent zu:
>  
> [mm](a,b)^2 \le a^2b^2[/mm]
>  
> a und b sind aus einem euklidischen Raum. Wobei (a,b) das
> innere Produkt ist, sprich [mm](a,b)=a_1b_2+a_2b_2+...+a_nb_n[/mm]
>  Hallo Leute,
>  
> bei uns im Skipt wird die Dreiecksungleichung für eine
> Metrik, den Abstand zwischen zwei Punkten mit der
> Cauchy-Schwarzungleichung bewiesen.
>
> Ich verstehe aber nicht, warum diese beiden Gleichungen
> äquivalent sein sollen, wo ist das "+" aus der
> Dreiecksungleichung hin?
>  
> Könnte mir das jemand mal vorführen, woher die
> Äquivalenz kommt, bin am verzweifeln...
>
> Danke schonmal!

Hallo AntonK,
ich kann dir leider nicht konkret antworten.
Aber auf die Frage "Wohin ist das "+" verschwunden?"
würde ich so rein logisch mit der Gegenfrage
"Welche Bedeutung hat das neu erschienene Komma?"
antworten. Ich weiß es nicht. Was sagt dein Vorlesungsskript?
Gruß Abakus

>  


Bezug
                
Bezug
Dreiecksungleichung - Cauchy: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Fr 25.01.2013
Autor: Gonozal_IX


>  Aber auf die Frage "Wohin ist das "+" verschwunden?"  würde ich so rein logisch mit der Gegenfrage  "Welche Bedeutung hat das neu erschienene Komma?"  antworten.

*hüstel* *hüstel*

> > a und b sind aus einem euklidischen Raum. Wobei (a,b) das innere Produkt ist, sprich [mm](a,b)=a_1b_2+a_2b_2+...+a_nb_n[/mm]



Bezug
        
Bezug
Dreiecksungleichung - Cauchy: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Fr 25.01.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das ist wirklich einfaches Einsetzen der Definition des inneren Produkts, aber erstmal vorweg gilt ja durch quadrieren:

$ [mm] \sqrt{(a+b)^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \quad\gdw\quad (a+b)^2 \le a^2 [/mm] + [mm] 2\sqrt{a^2b^2} [/mm] + [mm] b^2$ [/mm]

Fangen wir jetzt mal links an:

[mm] $(a+b)^2 [/mm] = (a+b,a+b)  = (a,a) + (a,b) + (b,a) + (b,b) = [mm] a^2 [/mm] + 2(a,b) + [mm] b^2$ [/mm]

Einsetzen oben liefert also:

[mm] $\gdw a^2 [/mm] + 2(a,b) + [mm] b^2 \le a^2 [/mm] + [mm] 2\sqrt{a^2b^2} [/mm] + [mm] b^2$ [/mm]

[mm] $\gdw [/mm] (a,b) [mm] \le \sqrt{a^2b^2}$ [/mm]

[mm] $\gdw (a,b)^2 \le a^2b^2$ [/mm]

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Dreiecksungleichung - Cauchy: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Sa 26.01.2013
Autor: AntonK

Danke euch, sehe ich ein!

Bezug
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