Dreiecksungleichung Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 07.06.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für [mm] $x_1,x_2,...,x_n\in\IR$ [/mm] gilt
[mm] $|x_1+x_2+...+x_n|\le |x_1|+|x_2|+...+|x_n|$. [/mm] |
Einen schönen Guten Abend,
wäre nett wenn mal jemand drüberschauen kann ob das so in Ordnung geht.
Zuerst einmal habe ich Summen daraus gebildet:
[mm] $|\sum_{k=1}^n x_k| \le \sum_{k=1}^n |x_k|$
[/mm]
Induktionsanfang: n=1
[mm] $|\sum_{k=1}^1 x_k|\le \sum_{k=1}^1 |x_k| \Rightarrow |x_1| \le |x_1| \Rightarrow$ [/mm] für n=1 wahr
Induktionsschritt: wenn A(n) wahr, dann auch A(n+1)
[mm] $|\sum_{k=1}^{n+1} x_k| \le \sum_{k=1}^{n+1} |x_k|\Rightarrow |(\sum_{k=1}^n x_k)+x_{n+1}|\le (\sum_{k=1}^n |x_k|)+|x_{n+1}|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |(x_1+x_2+...+x_n)+x_{n+1}|\le (|x_1|+|x_2|+...|x_n|)+|x_{n+1}|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}|\le |x_1|+|x_2|+...+|x_n|+|x_{n+1}|$
[/mm]
Vielen Dank schonmal.
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Hallo Trolli,
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für
> [mm]x_1,x_2,...,x_n\in\IR[/mm] gilt
>
> [mm]|x_1+x_2+...+x_n|\le |x_1|+|x_2|+...+|x_n|[/mm].
> Einen schönen
> Guten Abend,
>
> wäre nett wenn mal jemand drüberschauen kann ob das so in
> Ordnung geht.
>
>
> Zuerst einmal habe ich Summen daraus gebildet:
> [mm]|\sum_{k=1}^n x_k| \le \sum_{k=1}^n |x_k|[/mm]
>
> Induktionsanfang: n=1
> [mm]|\sum_{k=1}^1 x_k|\le \sum_{k=1}^1 |x_k| \Rightarrow |x_1| \le |x_1| \Rightarrow[/mm]
Im ersten Schritt sollte eine Äquivalenz stehen... du kannst doch nicht aus der zu zeigenden Aussage folgern ...
> für n=1 wahr
>
>
> Induktionsschritt: wenn A(n) wahr, dann auch A(n+1)
> [mm]|\sum_{k=1}^{n+1} x_k| \le \sum_{k=1}^{n+1} |x_k|\Rightarrow |(\sum_{k=1}^n x_k)+x_{n+1}|\le (\sum_{k=1}^n |x_k|)+|x_{n+1}|[/mm]
Auch hier: was bedeutet [mm]\Rightarrow[/mm] im ersten Schritt?
Du gehst von der zu zeigenden Aussage aus und folgerst rum, das ist kritisch.
Nimm dir doch die linke Seite her:
[mm]\left|\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k\right|=\left|\left( \ \sum\limits_{k=1}^{n}x_k \ \right) \ + \ x_{n+1}\right| \ \le \ \left|\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right| \ + \ |x_{n+1}|[/mm] nach Fall n=2
[mm]\le \ \sum\limits_{k=1}^{n}|x_k| \ \ + \ |x_{n+1}|[/mm] nach IV
[mm]=\sum\limits_{k=1}^{n+1}|x_{k}|[/mm]
So fänd ich's schick 
>
> [mm]\Rightarrow |(x_1+x_2+...+x_n)+x_{n+1}|\le (|x_1|+|x_2|+...|x_n|)+|x_{n+1}|[/mm]
Hier solltest du begründen, warum die Ungleichung gilt.
Das ist im Prinzip ja der Fall [mm]n=2[/mm] und IV in einem Schritt (zeige den Fall $n=2$ noch im IA mit)
Oder nimm eine erweiterte IV: Sei [mm]n\in\IN[/mm] und gelte die Beh. für alle [mm]k\le n[/mm] ...
>
> [mm]\Rightarrow |x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}|\le |x_1|+|x_2|+...+|x_n|+|x_{n+1}|[/mm]
>
> Vielen Dank schonmal.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 07.06.2011 | | Autor: | Trolli |
Ok, neuer Versuch.
Induaktionsanfang: n=1
$ [mm] |\sum_{k=1}^1 x_k|\le \sum_{k=1}^1 |x_k| \gdw |x_1| \le |x_1|$
[/mm]
n=2
[mm] $|\sum_{k=1}^2 x_k|\le \sum_{k=1}^2 |x_k| \gdw |x_1+x_2|\le |x_1|+|x_2|$
[/mm]
Meinst du es so oder habe ich dich falsch verstanden?
Induktionschritt:
$ [mm] \left|\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k\right|=\left|\left( \ \sum\limits_{k=1}^{n}x_k \ \right) \ + \ x_{n+1}\right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left|\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right| [/mm] \ + \ [mm] |x_{n+1}|\le \sum_{k=1}^n |x_k|+|x_{n+1}|=\sum_{k=1}^{n+1} |x_k|$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow |(x_1+x_2+...+x_n)+x_{n+1}|\le (|x_1|+|x_2|+...|x_n|)+|x_{n+1}| [/mm] $
Die Begründung dafür sieht man ja schon für n=2 wie du schon sagtest. Z.b. [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-4.
[/mm]
Ist es so in Ordnung?
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Hallo nochmal,
> Ok, neuer Versuch.
>
> Induaktionsanfang: n=1
> [mm]|\sum_{k=1}^1 x_k|\le \sum_{k=1}^1 |x_k| \gdw |x_1| \le |x_1|[/mm]
Und das rechterhand gilt trivialerweise
>
> n=2
> [mm]|\sum_{k=1}^2 x_k|\le \sum_{k=1}^2 |x_k| \gdw |x_1+x_2|\le |x_1|+|x_2|[/mm]
Das ist die "normale" [mm]\triangle[/mm]-Ungleichung, deren Güligkeit ihr bestimmt schon beweisen habt, die Beh. gilt also auch für [mm]n=2[/mm]
>
> Meinst du es so oder habe ich dich falsch verstanden?
Jo, das meinte ich so
>
>
> Induktionschritt:
> [mm]\left|\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k\right|=\left|\left( \ \sum\limits_{k=1}^{n}x_k \ \right) \ + \ x_{n+1}\right| \ \le \ \left|\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right| \ + \ |x_{n+1}|\le \sum_{k=1}^n |x_k|+|x_{n+1}|=\sum_{k=1}^{n+1} |x_k|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |(x_1+x_2+...+x_n)+x_{n+1}|\le (|x_1|+|x_2|+...|x_n|)+|x_{n+1}|[/mm]
>
> Die Begründung dafür sieht man ja schon für n=2 wie du
> schon sagtest.
Ja, das ist die Begründung für das erste [mm]\le[/mm]
Das zweite [mm]\le[/mm] ergibt sich aus der IV, die du auf die Summe (bis n) anwendest.
Die zweite Zeile, wo du die Summen nochmal ausschreibst, kannst du weglassen, das ist unnütz
> Z.b. [mm]x_1=3[/mm] und [mm]x_2=-4.[/mm]
Bitte keine Bsp.Zahlen
> Ist es so in Ordnung?
Ja!
Nochmal die Anmerkung. Oft sind in Induktionen ja Gleichungen oder Ungleichungen zu zeigen.
Ich mache das meist so, dass ich mir die eine Seite (meist die linke) hernehme und dann so umforme, dass die andere Seite der Beh. rauskommt.
Wenn du mit der "ganzen" (Un-)Gleichung loslegst, musst du peinlich darauf achten, dass du lauter Äquivalenzaussagen machst und auf eine wahre bzw. bekannte Aussage zusteuerst.
Etwa für [mm]n=2[/mm] (obwohl es da offensichtlich ist):
n=2:
zz: [mm]\left|\sum\limits_{k=1}^2x_k\right|\le\sum\limits_{k=1}^2|x_k|[/mm]
[mm]\left|\sum\limits_{k=1}^2x_k\right|=|x_1+x_2|\le |x_1|+|x_2|[/mm] nach "normaler" Dreiecksungl.
[mm]=\sum\limits_{k=1}^2|x_k|[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 07.06.2011 | | Autor: | Trolli |
Vielen Dank.
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