Dreieckungl für stet Fkt. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige die Dreiecksungleichung
[mm] \begin{Vmatrix}
\integral_{a}^{b}{f(t) dt}
\end{Vmatrix} \le \integral_{a}^{b}{
\begin{Vmatrix}
f(t)
\end{Vmatrix} dt}
[/mm]
für vektorwertige stetige Funktionen f: [a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] |
Halllo!
Ich sitze gerade vor diesem Beweis und bin mir nicht ganz sicher ob mein Ansatz stimmt:
[mm] \begin{Vmatrix}
\integral_{a}^{b}{f(t) dt}
\end{Vmatrix} [/mm] = [mm] \begin{Vmatrix}
\summe_{i=1}^{\infty} f(u) \Delta t_i
\end{Vmatrix} [/mm] = [mm] \begin{Vmatrix}
\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} f(u) \Delta t_i
\end{Vmatrix} [/mm] =
Nun nutze ich die Stetigkeit der Norm aus!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \begin{Vmatrix}
\summe_{i=1}^{n} f(u) \Delta t_i
\end{Vmatrix} \le
[/mm]
Nun nutze ich die Integrierbarkeit von f(u) aus, sodass ich die Dreiecksungleichung anwenden kann...
[mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \begin{Vmatrix}
f(u) \Delta t_i
\end{Vmatrix} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \begin{Vmatrix}
f(u)
\end{Vmatrix} \Delta t_i [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{
\begin{Vmatrix}
f(t)
\end{Vmatrix} dt}
[/mm]
Kann man das so gelten lassen?
Bin sehr dankbar für jede Hilfe / Kritik! :)
Ich nutze übrigens hier, dass die Kompositionen stetiger Funktionen wieder stetig ist - damit ist Norm von f(t) riemann-integrierbar.
lg
Babapapa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Handelt es sich hier um eine beliebige oder eine bestimmte Norm?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Sa 24.10.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Es handelt sich um eine beliebige Norm
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 26.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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