Dreifachintegral - Volumen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Man berechne das Volumen der Körper, die von den folgenen Flächen begrenzt werden
j) [mm] (x^2+y^2+z^2)^2=x [/mm] |
| Aufgabe 2 | | k) [mm] (x^2+y^2+z^2)^2=xyz [/mm] |
Hallo,
die Angabe schaut ja schon sehr verdächtig nach einer Transformation auf Kugelkoordinaten aus, deshalb hab ich folgende Transformation verwendet:
[mm] x=r*sin(\psi)*cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\psi)*sin(\phi)
[/mm]
[mm] z=r*cos(\psi)
[/mm]
Daraus erhalte ich über die Jacobi-Determinate:
[mm] dV=r^2*sin(\psi)*dr*d\psi*d\phi
[/mm]
Die Transformationen eingesetzt in die Angabe j.) liefern mir:
[mm] (r^2*sin^2(\psi)*cos^2(\phi)+r^2*sin^2(\psi)*sin^2(\phi)+r^2*cos^2(\psi))^2=r*sin(\psi)*cos(\phi)
[/mm]
was sich vereinfachen lässt zu:
[mm] r^3=sin(\psi)*cos(\phi)
[/mm]
daraus nehm ich die Grenze für r:
[mm] 0\le [/mm] r [mm] \le \wurzel[3]{sin(\psi)*cos(\phi)
}
[/mm]
Wie komm ich jetzt zu den anderen Grenzen?
Kann ich die aus dem bis dahin gegebenen ausrechnen oder kann ich den Bereich auf irgendeine Ebene projizieren damit ich weiter komm?
Beim 2. Beispiel stoß ich im Prinzip auf das gleiche Problem aber ich vermute einmal, dass sich beide ziemlich ähnlich lösen lassen.
Dank im Voraus,
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ConvinceMe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man berechne das Volumen der Körper, die von den folgenen
> Flächen begrenzt werden
>
> j) [mm](x^2+y^2+z^2)^2=x[/mm]
> k) [mm](x^2+y^2+z^2)^2=xyz[/mm]
> Hallo,
>
> die Angabe schaut ja schon sehr verdächtig nach einer
> Transformation auf Kugelkoordinaten aus, deshalb hab ich
> folgende Transformation verwendet:
>
> [mm]x=r*sin(\psi)*cos(\phi)[/mm]
> [mm]y=r*sin(\psi)*sin(\phi)[/mm]
> [mm]z=r*cos(\psi)[/mm]
>
> Daraus erhalte ich über die Jacobi-Determinate:
>
> [mm]dV=r^2*sin(\psi)*dr*d\psi*d\phi[/mm]
>
> Die Transformationen eingesetzt in die Angabe j.) liefern
> mir:
>
> [mm](r^2*sin^2(\psi)*cos^2(\phi)+r^2*sin^2(\psi)*sin^2(\phi)+r^2*cos^2(\psi))^2=r*sin(\psi)*cos(\phi)[/mm]
>
> was sich vereinfachen lässt zu:
>
> [mm]r^3=sin(\psi)*cos(\phi)[/mm]
>
> daraus nehm ich die Grenze für r:
>
> [mm]0\le[/mm] r [mm]\le \wurzel[3]{sin(\psi)*cos(\phi)
}[/mm]
>
> Wie komm ich jetzt zu den anderen Grenzen?
Aus der gegebenen Gleichung folgt, daß [mm]x \ge 0[/mm] sein muß.
Während z sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann.
Daraus erhältst Du die Grenzen für [mm]\psi[/mm] bzw. [mm]\phi[/mm].
> Kann ich die aus dem bis dahin gegebenen ausrechnen oder
> kann ich den Bereich auf irgendeine Ebene projizieren damit
> ich weiter komm?
Das brauchst Du nicht.
>
> Beim 2. Beispiel stoß ich im Prinzip auf das gleiche
> Problem aber ich vermute einmal, dass sich beide ziemlich
> ähnlich lösen lassen.
So ist es.
>
> Dank im Voraus,
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
danke erstmal für die Antwort.
Stimmt das dann, wenn ich sage:
[mm] 0\le r*sin(\psi)*cos(\phi)
[/mm]
da ich aber allgemein annehme, dass r positiv ist muss ich nur folgendes beachten:
[mm] 0\le sin(\psi)*cos(\phi)
[/mm]
Also sage ich wenn:
[mm] \psi \in [0,\pi] \Rightarrow \phi \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
und
[mm] \psi \in [\pi,2\pi] \Rightarrow \phi [\bruch{\pi}{2},\bruch{3\pi}{2}]
[/mm]
Die beiden Integrale werden dann addiert und das Ergebnis ist mein Volumen:
[mm] I_{1}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{0}^{\wurzel[3]{sin(\psi)cos(\phi)}}{r^2*sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=\bruch{\pi}{3}
[/mm]
[mm] I_{2}=\integral_{\pi}^{2\pi}{\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{0}^{\wurzel[3]{sin(\psi)cos(\phi)}}{r^2*sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=-\bruch{\pi}{3}
[/mm]
(Berechnung mit Derive 6)
Jetzt hab ich als Ergebnis den gleichen Wert einmal positiv und einmal negativ. Da ich den Bereich schon mit Mathematica geplottet hab geh ich jetzt einmal davon aus, dass der negative Wert zustande kommt, weil ich das ganze "rückwärts" integriert hab, oder lieg ich mittlerweile schon ganz daneben?
Noch eine weitere Frage zum 2. Beispiel: [mm] (x^2+y^2+z^2)^2=xyz
[/mm]
für r erhalte ich diesmal:
[mm] r=sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)
[/mm]
nun weiß ich wieder das [mm] x*y*z\ge [/mm] 0
folglich: [mm] 0\le r^3*sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)
[/mm]
[mm] sin(\psi)^2 [/mm] ist in jedem Fall positiv und r auch also bleibt:
[mm] 0\le cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)
[/mm]
Und dann gibt es mehrere Möglichkeiten:
[mm] cos(\psi), cos(\phi), sin(\phi) [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \psi \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}], \phi \in [0,\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
[mm] cos(\psi) [/mm] > 0, [mm] cos(\phi),sin(\phi)< [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \psi \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}], \phi \in [\pi,\bruch{3\pi}{2}] [/mm] oder [mm] \phi \in [-\pi,-\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
[mm] cos(\psi),sin(\phi)< [/mm] 0 , [mm] cos(\phi)>0 \Rightarrow \psi \in [-\bruch{3\pi}{2},-\bruch{\pi}{2}] [/mm] oder [mm] \psi \in [\bruch{\pi}{2},\bruch{3\pi}{2}], \phi \in [-\bruch{\pi}{2},0] [/mm]
[mm] cos(\psi),cos(\phi)<0 [/mm] , [mm] sin(\phi)>0 \Rightarrow \psi \in [-\bruch{3\pi}{2},-\bruch{\pi}{2}] [/mm] oder [mm] \psi \in [\bruch{\pi}{2},\bruch{3\pi}{2}], \phi \in [\bruch{\pi}{2},\pi] [/mm]
Sämtliche Integrale in den Bereichen ergeben aber Null, jetzt bin ich etwas planlos. Hab ich einen groben denkfehler gemacht?
Dank im Voraus
Grüße
ConvinceMe
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Hallo ConvinceMe,
> Hallo,
>
> danke erstmal für die Antwort.
> Stimmt das dann, wenn ich sage:
>
> [mm]0\le r*sin(\psi)*cos(\phi)[/mm]
>
> da ich aber allgemein annehme, dass r positiv ist muss ich
> nur folgendes beachten:
>
> [mm]0\le sin(\psi)*cos(\phi)[/mm]
>
> Also sage ich wenn:
> [mm]\psi \in [0,\pi] \Rightarrow \phi \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}][/mm]
>
> und
>
> [mm]\psi \in [\pi,2\pi] \Rightarrow \phi [\bruch{\pi}{2},\bruch{3\pi}{2}][/mm]
>
> Die beiden Integrale werden dann addiert und das Ergebnis
> ist mein Volumen:
>
> [mm]I_{1}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{0}^{\wurzel[3]{sin(\psi)cos(\phi)}}{r^2*sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> [mm]I_{2}=\integral_{\pi}^{2\pi}{\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{0}^{\wurzel[3]{sin(\psi)cos(\phi)}}{r^2*sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=-\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> (Berechnung mit Derive 6)
> Jetzt hab ich als Ergebnis den gleichen Wert einmal
> positiv und einmal negativ. Da ich den Bereich schon mit
> Mathematica geplottet hab geh ich jetzt einmal davon aus,
> dass der negative Wert zustande kommt, weil ich das ganze
> "rückwärts" integriert hab, oder lieg ich mittlerweile
> schon ganz daneben?
Das ist richtig, wenn Du rückwärts integrierst,
dann kommt logischerweise das negative des zuvor Erhaltenen heraus.
>
> Noch eine weitere Frage zum 2. Beispiel:
> [mm](x^2+y^2+z^2)^2=xyz[/mm]
>
> für r erhalte ich diesmal:
>
> [mm]r=sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)[/mm]
>
> nun weiß ich wieder das [mm]x*y*z\ge[/mm] 0
>
> folglich: [mm]0\le r^3*sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)[/mm]
>
> [mm]sin(\psi)^2[/mm] ist in jedem Fall positiv und r auch also
> bleibt:
>
> [mm]0\le cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)[/mm]
>
> Und dann gibt es mehrere Möglichkeiten:
>
> [mm]cos(\psi), cos(\phi), sin(\phi)[/mm] > 0 [mm]\Rightarrow \psi \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}], \phi \in [0,\bruch{\pi}{2}][/mm]
>
> [mm]cos(\psi)[/mm] > 0, [mm]cos(\phi),sin(\phi)<[/mm] 0 [mm]\Rightarrow \psi \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}], \phi \in [\pi,\bruch{3\pi}{2}][/mm]
> oder [mm]\phi \in [-\pi,-\bruch{\pi}{2}][/mm]
>
> [mm]cos(\psi),sin(\phi)<[/mm] 0 , [mm]cos(\phi)>0 \Rightarrow \psi \in [-\bruch{3\pi}{2},-\bruch{\pi}{2}][/mm]
> oder [mm]\psi \in [\bruch{\pi}{2},\bruch{3\pi}{2}], \phi \in [-\bruch{\pi}{2},0][/mm]
>
> [mm]cos(\psi),cos(\phi)<0[/mm] , [mm]sin(\phi)>0 \Rightarrow \psi \in [-\bruch{3\pi}{2},-\bruch{\pi}{2}][/mm]
> oder [mm]\psi \in [\bruch{\pi}{2},\bruch{3\pi}{2}], \phi \in [\bruch{\pi}{2},\pi][/mm]
>
> Sämtliche Integrale in den Bereichen ergeben aber Null,
> jetzt bin ich etwas planlos. Hab ich einen groben
> denkfehler gemacht?
Hier hast Du jeweils ein symmetrisches Intervall für [mm]\psi[/mm].
Daher ergibt sich für den Wert des Integrals jeweils 0.
>
> Dank im Voraus
> Grüße
> ConvinceMe
Gruss
MathePower
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Sehr gut, danke, wenn ich jetzt die Intervalle halbiere schaut das ganze schon besser aus.
Wenn ich jetzt die vier Integrale berechne ergibt sich:
[mm] I_{1}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=\bruch{1}{1440}
[/mm]
[mm] I_{2}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{\pi}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=\bruch{1}{1440}
[/mm]
[mm] I_{3}=\integral_{\pi}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{0}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=-\bruch{1}{1440}
[/mm]
[mm] I_{4}=\integral_{\pi}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=-\bruch{1}{1440}
[/mm]
Eine Frage hätt ich noch:
Vorher hab ich z.B. beim 1. Integral [mm] \psi [/mm] von [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] laufen lassen und als Ergebnis Null erhalten.
Würde das theoretisch nicht heißen, dass die eine Hälfte des Volumens negativ und die zweite positiv gezählt wurde?
Wenn das so ist, müsste ich doch die einzelnen Ergebnisse doppelt zählen und hätte dann aus der Summe der Beträge das Gesamtvolumen.
Also hätte ich [mm] \summe_{i=1}^{4}|2*I_{i}|=\bruch{1}{180}
[/mm]
Da in meiner Lösung aber als Ergebnis [mm] \bruch{1}{360} [/mm] steht nehme ich an, dass man die Beträge der einzelnen Integrale nicht mehr verdoppeln muss.
Wie kann ich mir das erklären, oder ist die angegebene Lösung einfach falsch?
Gruß
ConvinceMe
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Hallo ConvinceMe,
> Sehr gut, danke, wenn ich jetzt die Intervalle halbiere
> schaut das ganze schon besser aus.
> Wenn ich jetzt die vier Integrale berechne ergibt sich:
>
> [mm]I_{1}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=\bruch{1}{1440}[/mm]
>
>
> [mm]I_{2}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{\pi}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=\bruch{1}{1440}[/mm]
>
Hier hat sich ein kleiner Schreibfehler eingeschlichen.
Die Integrale müssen lauten:
[mm]\integral_{0}^{\red{\bruch{\pi}{2}}}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}[/mm]
bzw.
[mm]\integral_{0}^{\red{\bruch{\pi}{2}}}{\integral_{\pi}^{\bruch{3 \pi}{2}}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}[/mm]
>
> [mm]I_{3}=\integral_{\pi}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{0}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=-\bruch{1}{1440}[/mm]
>
> [mm]I_{4}=\integral_{\pi}^{\bruch{3\pi}{2}}{\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{\integral_{0}^{sin(\psi)^2*cos(\psi)*sin(\phi)*cos(\phi)}{r^2\cdot{}sin(\psi) dr}d\phi}d\psi}=-\bruch{1}{1440}[/mm]
>
> Eine Frage hätt ich noch:
>
> Vorher hab ich z.B. beim 1. Integral [mm]\psi[/mm] von
> [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] laufen lassen und als
> Ergebnis Null erhalten.
>
> Würde das theoretisch nicht heißen, dass die eine Hälfte
> des Volumens negativ und die zweite positiv gezählt
> wurde?
Nein, die Volumina sind beide positiv gezählt worden.
Beim Integrieren stellst Du fest, daß eine gerade Funktion herauskommt.
Und für symmetrische Intervallgrenzen bei einer geraden Funktion
erhältst Du für den Wert des Integrals 0.
>
> Wenn das so ist, müsste ich doch die einzelnen Ergebnisse
> doppelt zählen und hätte dann aus der Summe der Beträge
> das Gesamtvolumen.
>
> Also hätte ich [mm]\summe_{i=1}^{4}|2*I_{i}|=\bruch{1}{180}[/mm]
>
> Da in meiner Lösung aber als Ergebnis [mm]\bruch{1}{360}[/mm] steht
> nehme ich an, dass man die Beträge der einzelnen Integrale
> nicht mehr verdoppeln muss.
>
> Wie kann ich mir das erklären, oder ist die angegebene
> Lösung einfach falsch?
>
> Gruß
> ConvinceMe
>
Gruss
MathePower
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