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Forum "Stochastik" - Dringende Hilfe mit Borelmenge
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Dringende Hilfe mit Borelmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 So 31.10.2010
Autor: m0ppel

Aufgabe
Beweisen Sie, dass
[mm] \IQ \cup \{x| sinx < 0.3333\} \cup \{x |e^{x} \in \IQ\} [/mm]  Borelmenge in [mm] \IR [/mm] ist.

Ich bin  mir noch sehr unsicher, wie ich eine Borelmenge zu verstehen habe.
und vor allem, welche Kriterien muss ich nachweisen, um zu zeigen, dass mir eine Borelmenge vorliegt?
Ich weiß aus meiner Vorlesung, dass [mm] \IQ [/mm] eine Borelmenge ist. Da ich weiß, dass zwischen Borelmengen alle Mengenoperationen erlaubt sind und dennoch eine die Eigenschaften der Borelmenge erhalten bleiben, muss ich nur nachweisen, dass [mm] \{x| sinx < 0.3333\} [/mm] und [mm] \{x |e^{x} \not\in \IQ\} [/mm] ebenfalls Borelmengen sind.

Aber wie weiß ich das denn jetzt genau nach?
Ich weiß, dass [mm] \{x| sinx < 0.3333\} [/mm] eine Vereinigung mehrerer offener Mengen ist auf Grund der Eigenschaft der Signus Funktion. Was muss ich jetzt noch dazu wissen?
Die gleichen Fragen gelten auch für [mm] \{x |e^{x} \not\in \IQ\}. [/mm]


Vielen Dank schon mal für die Hilfe! Lg

        
Bezug
Dringende Hilfe mit Borelmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 So 31.10.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

kann es sein, dass du in der Aufgabenstellung ein \not vergessen hast?

nunja, dazu vorweg:

Ihr hattet bestimmt schon, dass für messbare Funktionen Mengen der Form [mm] $\{f(x) < c\}, \{f(x) \le c\}, \{f(x) = c\},\ldots$ [/mm] messbar ist, für alle [mm] c\in\IR. [/mm]

Überleg dir nun, dass die Funktionen $f(x) = [mm] \sin(x), [/mm] g(x) = [mm] e^x$ [/mm] Borel-meßbar sind.
Das geht recht einfach über eine fundamentale Eigenschaft beider Funktionen.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Dringende Hilfe mit Borelmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Mo 01.11.2010
Autor: m0ppel


Bezug
                
Bezug
Dringende Hilfe mit Borelmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Mo 01.11.2010
Autor: m0ppel

Danke schon mal für deine Antwort.
Ja hast recht, ich habe da ein not vergessen.
Hier noch mal richtig:
Zeige dass [mm]\IQ \cup \{x| sinx < 0.3333\} \cup \{x |e^{x} \not\in \IQ\}[/mm] eine Borelmenge ist.


Zu deinem Rest, ich weiß leider nicht, wann eine Funktion messbar ist.
Kannst du mir sagen, was ich da nachweisen muss? Ich habe leider erst in 3 Stunden Zeit mich weiter mit dieser Aufgabe zu beschäftigen. Und dann frag und denke ich noch mal genauer darüber nach.
lg

Bezug
                        
Bezug
Dringende Hilfe mit Borelmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Mo 01.11.2010
Autor: fred97


> Danke schon mal für deine Antwort.
>  Ja hast recht, ich habe da ein not vergessen.
> Hier noch mal richtig:
> Zeige dass [mm]\IQ \cup \{x| sinx < 0.3333\} \cup \{x |e^{x} \not\in \IQ\}[/mm]
> eine Borelmenge ist.
>  
> Zu deinem Rest, ich weiß leider nicht, wann eine Funktion
> messbar ist.


Mach Dich schlau !!


> Kannst du mir sagen, was ich da nachweisen muss? Ich habe
> leider erst in 3 Stunden Zeit mich weiter mit dieser
> Aufgabe zu beschäftigen. Und dann frag und denke ich noch
> mal genauer darüber nach.




Klar: [mm] \IQ [/mm] ist Borelmessbar.

Zur 2. Menge:

Das Intervall [mm] I:=(-\infty, [/mm] 0.3333) ist offen, also Borel-messbar.  f(x):=sin(x) ist stetig und somit messbar, damit ist

              [mm] $f^{-1}(I) [/mm]  Borel - messbar

Zur 3. Menge:

A:=  [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] ist Borel-messbar. [mm] g(x):=e^x [/mm] ist stetig und somit messbar,
damit ist

            [mm] $g^{-1}(A) [/mm]  Borel - messbar

>  lg


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