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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 So 11.07.2010 | | Autor: | alina00 |
| Aufgabe | [mm] F\in (IR^2) [/mm] sei gegeben durch F = 2b*+c*,wobei B* = {b*,c*} die zu B = {b, c} mit b= [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und
c= [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
duale Basis ist. Geben Sie F in der Form
F [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] =ux+vy |
Hallo erstmal, ich habe diese Aufgabe in einer alten Klausur gefunden und habe auch die Lösung dazu, nämlich
F [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = x+y
Ich verstehe nicht, woher das kommt und ehrlich gesagt verstehe ich auch die Funktion an sich nicht, denn ich addiere doch 2 Vektoren, warum kommt ein skalar raus? Zuerst steht da nämlich F= 2b+c, beides Vektoren, dann steht da F(x,y)= x+y Skalar?? Also ich hab erstmal die duale Basis bestimmt (bin zwar nicht sicher ob man das hier wirklich braucht). Als duale Basis bekomme ich b*= [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und
c*= [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] stimmt das?? Wie geht es jetzt weiter? Außerdem steht in der Lösung noch, dass F(b)=2 und F(c)=1 ist, woher kommt das ??
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> [mm]F\in (IR^2)^{\red{\*}}[/mm] sei gegeben durch F = 2b*+c*,wobei B* = [mm] {b^{\red{\*}},c^{\red{\*}}} [/mm]
> die zu B = {b, c} mit b= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und
> c= [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> duale Basis ist. Geben Sie F in der
> Form
> F [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] =ux+vy
> Hallo erstmal, ich habe diese Aufgabe in einer alten
> Klausur gefunden und habe auch die Lösung dazu, nämlich
> F [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = x+y
> Ich verstehe nicht, woher das kommt und ehrlich gesagt
> verstehe ich auch die Funktion an sich nicht, denn ich
> addiere doch 2 Vektoren, warum kommt ein skalar raus?
Hallo,
Du betrachtest gerade den [mm] (\IR^2)^{\*}, [/mm] den Dualraum zum [mm] \IR^2.
[/mm]
Die Elemente (Vektoren) dieses Raumes sind gewisse Abbildungen, nämlich Linearformen, lineare Abbildungen aus dem [mm] \IR² [/mm] in den [mm] \IR.
[/mm]
Welche?
> Zuerst steht da nämlich F= 2b+c,
Nein. Es steht da F = 2b*+c*.
F ist also die Summe zweier anderer Abildungen aus dem [mm] \IR² [/mm] in den [mm] \IR.
[/mm]
> beides Vektoren, dann
> steht da F(x,y)= x+y Skalar??
Diese Frage solltest Du Dir jetzt allein beantworten können.
> Also ich hab erstmal die
> duale Basis bestimmt (bin zwar nicht sicher ob man das hier
> wirklich braucht). Als duale Basis bekomme ich b*=
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] und
> c*= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] stimmt das??
Nein. Wie gesagt: [mm] b^{\*} [/mm] und [mm] c^{\*} [/mm] sind keine Elemente des [mm] \IR^2, [/mm] sondern Abbildungen aus dem [mm] \IR² [/mm] in den [mm] \IR.
[/mm]
Vielleicht notierst Du mal, wie die zu B=(b,c) duale Basis definiert ist.
Dann kann man die folgenden Fragen sinnvoll beantworten.
Gruß v. Angela
Wie geht es jetzt weiter?
> Außerdem steht in der Lösung noch, dass F(b)=2 und F(c)=1
> ist, woher kommt das ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 12.07.2010 | | Autor: | alina00 |
Danke für die Antwort.
Wie sehen denn diese linearformen aus?? Ich dachte eine duale Basis bestimmt man immer gleich, indem man eine Matrix aus den Vektoren der Basis aufstellt und dann die Inverse dieser Matrix bildet, in den Zeilen der Inversen stehen dann die Vektoren der dual Basis oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 12.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
oder!
angela hat dir doch gesagt, dass die duale Basis eine lineare Abb. ist. die kamm man mit Hilfe von vektoren darstellen.
welche lineare Abb. kennst du denn damit?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 13.07.2010 | | Autor: | alina00 |
und wie kommt man drauf, dass F von (1,1)=2 ist?? Irgendwie habe ich das noch immer nicht wirklich verstanden, oh mano :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 13.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du mal den Rat befolgt und die Definition der Dualen Basis hingeschrieben? ich hab nix davon gesehen. Ein Ziel solcher Übungern ist die Definitionen zu lernen und einzuüben und dann anzuwenden.
Fang IMMER damit an die die Def. klar zu machen, vorher sollte man an ne aufgabe gar nicht ran gehen
Gruss leduart
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