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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 15.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Teil meines Skriptums:
[mm] \phi: \IK^n [/mm] -> [mm] L(\IK^n, \IK) [/mm] = [mm] (\IK^n)^{\*}, \phi(x):= \psi_{x^t} [/mm] ist ein Isomorphismus.
Ist A [mm] \in M_{m \times n} (\IK) [/mm] und [mm] \psi_A [/mm] : [mm] \IK^n [/mm] -> [mm] \IK^m, \psi_A [/mm] (x) = Ax, die damit assozierte lineare Abbildung , dann kommutiert:
[mm] \phi_{\IK^n} \circ \psi_{A^t} [/mm] = [mm] (\psi_A)^t \circ \phi_{\IK^m}
[/mm]
Es gilt nämlich [mm] ((\psi_A)^t \circ \phi_{\IK^m}) [/mm] (x) = [mm] (\psi_A)^t (\psi_{x^t})= [/mm] = [mm] \psi_{x^t} \circ \psi_A [/mm] = [mm] \psi_{x^t A} [/mm] = [mm] \psi_{(A^t x)^t}= \phi_{\IK^n} (A^t [/mm] x) = [mm] (\phi_{\IK^n} \circ \psi_{A^t})(x)
[/mm]
für alle x [mm] \in \IK^m [/mm] |
Hallo
Frage:
Warum ist [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus, im Skript steht keine Erklärung dazu. Nur ein verweis zu dem Insomorphismus zwischen Matrizen und linearen Abbildungen. Aber ich verstehe nicht, wieso dieser verweis den Isomorphismus erklärt.
Würde mich über Erklärung freuen,
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Stoecki |
du kannst jede lineare abbildung bei fixierter basis durch genau eine darstellungsmatrix beschreiben. da das in beide richtungen gilt, hast du einen isomorphismus
gruß bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
danke für die Antwort.
LG,
schönen Freitag
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