Dualitätssatz für Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:19 Do 30.07.2009 | | Autor: | ichbinsnun |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in \mathds{N} [/mm] und d ein Teiler von n. Sei G eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n und seien
[mm] A:=\{U | U\le G \text{ U ist zyklisch mit } | U | = d\} [/mm] und
[mm] B:=\{ G/V | V\le G \text{ G/V ist zyklisch mit } | G/V | = d\}.
[/mm]
Dann gilt: | A| = |B | |
Hallo,
ich möchte die obige Aussage mit Hilfe des Dualitätssatzes für endliche abelsche Gruppen (Huppert) beweisen.
Leider seh ich nicht, wie ich mit diesem daran gehen kann.
Hat jemand von Euch einen Tipp für mich?
Wär super
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Do 30.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich möchte die obige Aussage mit Hilfe des
> Dualitätssatzes für endliche abelsche Gruppen (Huppert)
> beweisen.
Klaer uns doch mal darueber auf, was dieser Satz besagt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Fr 31.07.2009 | | Autor: | ichbinsnun |
Ich schreib mal den kompletten Satz auf, aber für die Behauptung müsste Aussage (e) genügen.
Sei G eine endliche abelsche Gruppe und K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit charK [mm] \nmid [/mm] |G |. Ferner sei H:=Hom(G,K*), also die Gruppe, die die Homomorphismen enthält, die die Elemente von G in die multiplikative Gruppe des Körpers abbilden. Für jede Untergrupe U von G definiere [mm] U^{\varphi}:=\{\chi|\chi\in H, \chi(g) = 1 f.a. g\in U\}
[/mm]
Dann gilt:
(a) [mm] G\cong [/mm] Hom(G,K*):=H
(b) Die Abbildung [mm] \tau: G\to [/mm] Hom(H,K*); [mm] g\mapsto \chi(g) [/mm] für [mm] \chi \in [/mm] H ist ein Isomorphismus
(c) Für alle [mm] U\le [/mm] G gilt: [mm] U^{\varphi}\cong [/mm] Hom(G/U,K*)
(d) Für alle [mm] U\le [/mm] G gilt [mm] U^{\varphi\varphi} [/mm] = [mm] \tau(U)
[/mm]
(e) Die Abbildung die vom Untergruppenverband von G in den Untergruppenverband von H geht und U auf [mm] U^{\varphi} [/mm] abbildet ist eine Dualität.
Das heißt sie ist umkehrbar eindeutig und für alle [mm] U,V\le [/mm] G gilt:
[mm] (UV)^{\varphi} [/mm] = [mm] U^{\varphi}\cap V^{\varphi} [/mm] und (U [mm] \cap V)^{\varphi} [/mm] = [mm] U^{\varphi}V^{\varphi}
[/mm]
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Oh, ich glaub ich habs fast.
Sei [mm] \phi [/mm] der in (e) angegebene Verbands-Isomorphismus.
Dann gilt, da [mm] \phi [/mm] ein Verbands-Isomorphismus ist, dass die Mächtigkeit von A gleich der Anzahl der zyklischen Untergruppen von H ist, deren Ordnung d ist.
Sei nun C [mm] \le [/mm] H zyklisch von Ordnung d. Dann gibt es, da [mm] \phi [/mm] insbesondere surjektiv ist, ein [mm] N\le [/mm] G mit C = [mm] \phi(N) [/mm] = [mm] N^{\varphi}. [/mm] Nun folgt mit (c) und (a):
C = [mm] N^{\varphi} \cong [/mm] Hom(G/N,K*) [mm] \cong [/mm] G/N
Fertig!!
Stimmt doch, oder?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Fr 31.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich denke mal, du nimmst $K := [mm] \IC$, [/mm] oder?
> Oh, ich glaub ich habs fast.
> Sei [mm]\phi[/mm] der in (e) angegebene Verbands-Isomorphismus.
Ok.
> Dann gilt, da [mm]\phi[/mm] ein Verbands-Isomorphismus ist, dass die
> Mächtigkeit von A gleich der Anzahl der zyklischen
> Untergruppen von H ist, deren Ordnung d ist.
Was hat das damit zu tun, dass [mm] $\phi$ [/mm] ein Verbands-Isomorphismus ist? Das folgt daraus, dass G [mm] \cong [/mm] H$ gilt. Und brauchen tust du es nicht.
> Sei nun C [mm]\le[/mm] H zyklisch von Ordnung d. Dann gibt es, da
> [mm]\phi[/mm] insbesondere surjektiv ist, ein [mm]N\le[/mm] G mit C =
> [mm]\phi(N)[/mm] = [mm]N^{\varphi}.[/mm] Nun folgt mit (c) und (a):
> C = [mm]N^{\varphi} \cong[/mm] Hom(G/N,K*) [mm]\cong[/mm] G/N
Also ist $G/N$ zyklisch von der Ordnung $d$.
> Fertig!!
Was? Das reicht noch laaange nicht.
Also. Definiere erstmal $B' := [mm] \{ V \subseteq G \mid G/V \text{ ist zyklisch von der Ordnung } d \}$. [/mm] Dann gilt $|B'| = |B|$ (warum?). Und definiere $A' := [mm] \{ U \subseteq H \mid U \text{ ist zyklisch von der Ordnung } d \}$. [/mm] Da $G [mm] \cong [/mm] H$ gilt $|A'| = |A|$.
Es reicht also zu zeigen, dass $|A'| = |B'|$ ist. Dazu betrachte jetzt die Abbildung $f : B' [mm] \to [/mm] A'$, $V [mm] \mapsto V^\varphi$. [/mm] Du musst zeigen: 1) $f$ ist wohldefiniert, 2) $f$ ist injektiv, 3) $f$ ist surjektiv.
Aussage 2) folgt direkt aus (e), da $f$ die Einschraenkung von [mm] $\phi$ [/mm] ist. Du musst also insbesondere 1) und 3) zeigen.
Zu 1). Sei $V [mm] \subseteq [/mm] G$ mit $G/V$ zyklisch von der Ordnung $d$. Du musst zeigen, dass $f(V) = [mm] V^\varphi \in [/mm] A'$ ist, also dass [mm] $V^\varphi$ [/mm] zyklisch von der Ordnung $d$ ist. Warum gilt das?
Zu 3). Sei $U [mm] \in [/mm] A'$. Setze $V := [mm] \phi^{-1}(U)$; [/mm] dann gilt $U = [mm] V^\varphi [/mm] = f(V)$; du musst also $V [mm] \in [/mm] B'$ zeigen. Wie geht das?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Sa 01.08.2009 | | Autor: | ichbinsnun |
Ahhh,
vielen Dank
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