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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 19.11.2008 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | Gib die Dualbasis an:
$ [mm] \vektor{1 \\0 \\1} [/mm] $ , $ [mm] \vektor{1 \\0 \\-1} [/mm] $ , $ [mm] \vektor{1 \\1 \\0} [/mm] $ von [mm] R^3
[/mm]
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Ich habe nun das Gleichungssystem aufgestellt,da die Abbildungen $ [mm] (f_1, ...,f_n) [/mm] $ eine Basis von $ [mm] V^{*}: [/mm] $ bilden:
$ [mm] (b_1+ 0b_2+ b_3 [/mm] = 1) $
$ [mm] (b_1+ 0b_2- b_3 [/mm] = 0) $
$ [mm] (b_1+ b_2+ 0b_3 [/mm] = 0) $
$ [mm] (b_1+ 0b_2+ b_3 [/mm] = 0) $
$ [mm] (b_1+ 0b_2- b_3 [/mm] = 1) $
$ [mm] (b_1+ b_2+ 0b_3 [/mm] = 0) $
$ [mm] (b_1+ 0b_2+ b_3 [/mm] = 0) $
$ [mm] (b_1+ 0b_2- b_3 [/mm] = 0) $
$ [mm] (b_1+ b_2+ 0b_3 [/mm] = 1) $
Wie muss ich nun tun,um die Basis des Dualraums zu bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mi 19.11.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich hatte vor eineinhalb Monaten dasselbe Problem: Wie bestimme ich die duale Basis. Siehe hier.
Du schreibst deine drei Vektoren erst einmal in eine Matrix:
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 }
[/mm]
Dann inverstierst du A. Du erhälst so [mm] A^{-1}. [/mm] Dann transponierst du [mm] A^{-1}. [/mm] Die (linear unabhängigen) Spaltenvektoren von [mm] (A^{-1})^{t} [/mm] bilden dann die duale Basis von $ [mm] \vektor{1 \\0 \\1}, \vektor{1 \\0 \\-1},\vektor{1 \\1 \\0} [/mm] $.
MfG barsch
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> Gib die Dualbasis an:
> [mm]\vektor{1 \\0 \\1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\0 \\-1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\1 \\0}[/mm]
> von [mm]R^3[/mm]
>
> Ich habe nun das Gleichungssystem aufgestellt,da die
> Abbildungen [mm](f_1, ...,f_n)[/mm] eine Basis von [mm]V^{*}:[/mm] bilden:
>
> [mm](b_1+ 0b_2+ b_3 = 1)[/mm]
> [mm](b_1+ 0b_2- b_3 = 0)[/mm]
> [mm](b_1+ b_2+ 0b_3 = 0)[/mm]
Hallo,
die [mm] f_i [/mm] sind ja Linearformen vom [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR, [/mm] und da sie linear sind, werden sie jeweils durch eine 1x3-Matrix repäsentiert,
am
sagen wir: [mm] f_1(x):=\pmat{b_1&b_2&b_3}x.
[/mm]
Du weißt nun, daß [mm] f_1(v_1)=1, f(v_2)=0, f(v_3)=0 [/mm] gelten muß für den ersten Vektor der dualen Basis.
Genau aus dieser Überlegung ist obiges Gleichunssystem entstanden. Löse es, und Du kennst die darstellende Matrix [mm] f_1.
[/mm]
Für die andere beiden genauso. Mach Dir klar, daß das 3 getrennte Gleichungssysteme sind, und daß die Variablen, die Du alle mit [mm] b_i [/mm] bezeichnest, nichts miteinander zu tun haben.
> [mm](b_1+ 0b_2+ b_3 = 0)[/mm]
> [mm](b_1+ 0b_2- b_3 = 1)[/mm]
> [mm](b_1+ b_2+ 0b_3 = 0)[/mm]
>
> [mm](b_1+ 0b_2+ b_3 = 0)[/mm]
> [mm](b_1+ 0b_2- b_3 = 0)[/mm]
> [mm](b_1+ b_2+ 0b_3 = 1)[/mm]
>
> Wie muss ich nun tun,um die Basis des Dualraums zu
> bestimmen?
Du kannst so weitermachen, wie Du begonnen hast. Es ist der Weg, der sich in direkter Folge aus den Definitionen ergibt, und bei welchem man noch sieht, was man tut.
Der Weg, den Dir barsch gesagt hat, läuft übrigens aufs selbe hinaus.
Er (der Weg) schematisiert diesen Vorgang und punktet dadurch, daß man nicht denken muß, sondern nur nach Schema F rechnen, was meist eine Beschleunigung der Ergebnisfindung zur Folge hat. Die Gefahr: man erhält irgendwelche matrizen und weiß nicht, was si bedeuten.
Gruß v. Angela
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