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Hi alle zusammen,
ich muss folgende Aufgabe bearbeiten bzw. im Idealfall lösen! 
Sei h: V [mm] \mapsto [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V, W. Zeigen Sie:
a) h ist injektiv [mm] \gdw h^t [/mm] ist surjektiv
b) h ist surjektiv [mm] \gdw h^t [/mm] ist injektiv
c) Bezeichnet [mm] \delta_V: [/mm] V [mm] \mapsto V^{**} [/mm] die kanonische Einbettung, so gilt
[mm] (h^t)^t \circ \delta_V [/mm] = [mm] \delta_W \circ [/mm] h.
Kann mir jemand dabei helfen? Weil Dualraum mein Hassgebiet im ersten Semester war und ich bräuchte wieder grundlegendes Wissen zum Dualraum und eine Starthilfe für die Aufgabe.
Vielen Dank im Voraus,
Andi
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Hallo!
Hm, dass Dualräume ein Hassthema sind teilst Du (leider) mit vielen, dabei ist das doch eine so schöne Theorie.
Also: ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, dann ist der Dualraum [mm] $V^{*}$ [/mm] definiert als Vektorraum der linearen Abbildung von $V$ nach $K$, also
[mm] $V^{*} [/mm] = [mm] \Hom [/mm] (V, K)$
Sind jetzt $V$ und $W$ Vektorräume und $f: V [mm] \to [/mm] W$ eine lineare Abbildung, dann wird eine "duale" Abbildung [mm] $f^t [/mm] : [mm] W^{*} \to V^{*}$ [/mm] induziert. Wie geht das? Naja, wenn $l [mm] \in W^{*}$ [/mm] gegeben ist, dann ist das eine lineare Abbildung von $w$ nach $K$. Wir wollen mit Hilfe von $f$ daraus eine Abbildung von $V$ nach $K$ basteln- das geht einfach durch aneinanderschalten! Also formal
[mm] $f^t [/mm] (l) = l [mm] \circ [/mm] f$
Das ist die Definition.
Nun zur Aufgabe: ich löse Teil a), den Rest versuchst Du dann selbst, in Ordnung?
Sei also $h: V [mm] \to [/mm] W$ injektiv. Wir sollen die Surjektivität von [mm] $h^t$ [/mm] zeigen, also wir sollen zeigen: zu jedem [mm] $\varphi \in V^{*}$ [/mm] gibt es ein [mm] $\psi \in W^{*}$ [/mm] mit [mm] $h^t(\psi) [/mm] = [mm] \varphi$.
[/mm]
Sei also [mm] $\varphi \in V^{*}$ [/mm] vorgegeben. Wir sollen jetzt das [mm] $\psi$ [/mm] konstruieren, was die obeige Gleichung löst. Nach Einsetzen der Definition brauchen wir also ein $psi$ mit
[mm] $\psi \circ [/mm] h = [mm] \varphi$.
[/mm]
Nun, das ist aber aufgrund der Injektivität von $h$ nicht schwer: $h(V)$ ist ein Unterraum von $W$. Ist [mm] $v_1, \ldots, v_m$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $w_i [/mm] := [mm] f(v_i)$ [/mm] für $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] m$, dann ist wegen der Injektivität [mm] $w_1, \ldots, w_m$ [/mm] eine Basis von $h(V)$, die durch [mm] $w_{m+1}, \ldots, w_r$ [/mm] zu einer Basis von $W$ ergänzt wird. Definiere dann
[mm] $\psi(w_i) [/mm] := [mm] \varphi(v_i)$ [/mm] falls $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] m$
[mm] $\psi(w_j) [/mm] := 0$ falls $m < j [mm] \leq [/mm] r$
Das ist auf einer Basis von $W$ definiert, setzt sich also zu einer linearen Abbildung von $W$ nach $K$ fort. Offensichtlich gilt [mm] $\psi \circ [/mm] h = [mm] \varphi$. [/mm] Das kann man auf der Basis [mm] $v_1, \ldots, v_m$ [/mm] nachprüfen und da ist es klar.
Die Umkehrung ist auch nicht schwer. Wir müssen zeigen, dass der Kern von $h$ nur aus der 0 besteht, oder dass jeder Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \not= [/mm] 0$ unter $h$ auf einen Vektor ungleich 0 in $W$ geht.
Sei also $v [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash \{ 0 \}$. [/mm] Dann kann man diesen Vektor zu einer Basis von $V$ ergänzen und findet eine lineare Abbildung [mm] $\varphi: [/mm] V [mm] \to [/mm] K$, mit [mm] $\varphi(v) [/mm] = 1$ und [mm] $\varphi(v_i) [/mm] = 0$ für die Vektoren der ergänzten Basis. (wie die Abbildung fortgestzt wird, ist eigentlich egal).
Wegen der Surjektivität von [mm] $h^t$ [/mm] gibt es also ein [mm] $\psi \in W^{*}$ [/mm] mit [mm] $h^t(\psi) [/mm] = [mm] \varphi$ [/mm] bzw. [mm] $\psi \circ [/mm] h = [mm] \varphi$.
[/mm]
Da [mm] $\varphi(v) [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0$ muss auch $h(v) [mm] \not= [/mm] 0$ sein, da sonst die Gleichung nicht erfüllbar wäre.
So, das war jetzt ganz ausführlich - es geht sicher auch kürzer und eleganter, aber so sieht man ein wenig, was hier passiert.
Alles klar? Viel Erfolg bei den anderen Aufgabenteilen!
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Edmond |
| Aufgabe | Naja, wenn [mm]l \in W^{*}[/mm] gegeben
> ist, dann ist das eine lineare Abbildung von [mm]w[/mm] nach [mm]K[/mm]. |
Hallo und danke im Voraus...!!!
Oben habe ich einen Ausschnitt von der geschriebenen Definition über "Dualraum" abgeschrieben. was ich hier nicht ganz verstehe ist, wie kann eine lineare Abbildung von $ w $ nach $ K $ existieren, da ich $ w $ als ein Element halte. Ich habe noch nie eine solche Abbildung gesehen. Darum ist dies mein "Schlüsselproblem" um die Dualräume und die duale Abbildungen zu verstehen.
(P.S. Dies ist allg. mein erster Eintrag in einem Mathe-forum!!... lol...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Sa 21.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Lieber Edmond!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zuerst einmal wünsche ich dir für deinen ersten Eintrag in einem Mathe- Forum alles Gute. Wir freuen uns selbstverständlich das du deinen ersten Post bei uns im Matheraum machst.
Ich habe die Fälligkeit deiner Frage um 24 h vertagt, in der Hoffnung, dass dir noch jemand die Frage beantworten kann, da ich überfragt bin.
Ich wünsche dir noch einen schönen Abend
Liebe Grüße
PStefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 So 22.01.2006 | | Autor: | Edmond |
Vielen Dank für die Verlängerung der Zeit.
MfG Edmond
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 So 22.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Edmond!
Das war ein Schreibfehler von Lars.
Ist $W$ ein $K$-Vektorraum, dass ist der (algebraische) Dualraum von $W$ die Menge aller linearen Abbildungen von $W$ nach $K$.
Man bezeichnet den Dualraum häufig mit [mm] $W^{\star}$.
[/mm]
Es gilt also:
[mm] $W^{\star} [/mm] = Hom(W,K)$.
Liebe Grüße
Stefan
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