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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 17.10.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo!
Ich habe wieder mal eine Aufgabe, an der ich verzweifel.
Und zwar sollen zu folgenden Teilaufgaben (a) bis f) Darstellungen in Dual-Schreibweise gefunden werden.
a) Stellen Sie für i<j [mm] 2^{i}+2^{j} [/mm] als Dualzahl dar.
b) Stellen Sie [mm] 2^{n} [/mm] als Dualzahl dar
c) Stellen Sie die Summe(i=0,...,n-1) über [mm] 2^{2i} [/mm] als Dualzahl dar. Überlegen Sie auf Basis der dualen Darstellung, mit welcher Zahl sie diese Zahl multiplizieren müssen, damit sich [mm] 2^{2n-1} [/mm] ergibt?
d) bis f) hab ich jetzt mal weggelassen. Ich denke, dass sich das dann ergbit, wenn ich mal die Vorgehensweise verstehe. |
Also bei a) hab ich mir bisher nur überlegt:
i<j [mm] 2^{i}+2^{j} [/mm] ist doch [mm] \summe_{i=0}^{n} 2^{i} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n+1} 2^{j} [/mm] = 1+2 + 2+4 + 4+8 + 8+ 16 +...
Ok, aber wie bring ich das in Dualschreibweise?
Bei b) hab ich folgenden Ansatz:
[mm] 2^{n}-1 [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} (2^{i} [/mm] -1) = 0+1+3+7+15+...
=...15+7+3+1+0
und das wäre dual doch dann
...1111 111 11 1 0 (also hier mal für 15 +7+3+1+0)
Aber wie bringt man das in eine Summe, so dass es für alle Zahlen gilt? Ist es korrekt, dass die letzte 0 dann einfach hinter die Summe geschrieben werden kann (ist doch nur für den fall i=0 notwendig)?
Naja, den Rest hab ich erstmal nicht angefangen, weil ich nicht weiß, ob ich die richtige Vorgehensweise habe.
Wer kann mir also helfen bzw. mit Tips geben?
Mit freundlichen Grüßen,
Ralf
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Hallo RalU!
> Hallo!
> Ich habe wieder mal eine Aufgabe, an der ich verzweifel.
> Und zwar sollen zu folgenden Teilaufgaben (a) bis f)
> Darstellungen in Dual-Schreibweise gefunden werden.
>
> a) Stellen Sie für i<j [mm]2^{i}+2^{j}[/mm] als Dualzahl dar.
>
> b) Stellen Sie [mm]2^{n}[/mm] als Dualzahl dar
>
> c) Stellen Sie die Summe(i=0,...,n-1) über [mm]2^{2i}[/mm] als
> Dualzahl dar. Überlegen Sie auf Basis der dualen
> Darstellung, mit welcher Zahl sie diese Zahl multiplizieren
> müssen, damit sich [mm]2^{2n-1}[/mm] ergibt?
>
> d) bis f) hab ich jetzt mal weggelassen. Ich denke, dass
> sich das dann ergbit, wenn ich mal die Vorgehensweise
> verstehe.
> Also bei a) hab ich mir bisher nur überlegt:
> i<j [mm]2^{i}+2^{j}[/mm] ist doch [mm]\summe_{i=0}^{n} 2^{i}[/mm] +
> [mm]\summe_{j=1}^{n+1} 2^{j}[/mm] = 1+2 + 2+4 + 4+8 + 8+ 16 +...
Das verstehe ich nicht. Wie kommst du überall auf diese Summenschreibweise? Wie sieht denn die Zahl [mm] 2^i [/mm] aus? Das heißt doch einfach nur, dass an der Stelle [mm] 2^i [/mm] eine 1 steht und sonst überall Nullen. Also [mm] \underbrace{1}_{i}000...000, [/mm] und für j genauso. Na, und wie sieht dann die Summe von beiden aus?
> Bei b) hab ich folgenden Ansatz:
>
> [mm]2^{n}-1[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} (2^{i}[/mm] -1) = 0+1+3+7+15+...
> =...15+7+3+1+0
Das verstehe ich ebenso wenig. Es ist eigentlich noch viel einfacher als die a).
Und bei der c) hast du dann einfach an jeder zweiten Stelle eine 1. Bei der Multiplikation bin ich aber im Moment zu faul, lange drüber nachzudenken und so auf die Schnelle habe ich nichts gefunden... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Wenn man im 10-er-System die Zahl 2467 schreibt, hat diese Zahl den Wert 2*1000 + 4*100 +6*10 +7 oder [mm] 2*10^3+4*10^2+6*10^1+7*10^0. [/mm] Wir haben hier ein "Ziffernpositionssystem" mit 10 als Basis.
Im Dualsystem ist die Basis 2, und es gibt nur die Ziffern 1 und 2. Von hinten gelesen haben die Ziffern dann den Wert [mm] 2^0, 2^1, 2^2 [/mm] usw.
So bedeutet z.B. die Dualzahl 100101 - von hinten erklärt -
[mm] 1*2^0+0*2^1+1*2^2+0*2^3+0*2^4+1*2^5 [/mm] = 1+4+32=37 in unserem Zahlensystem.
Eine 1 an i-ter Stelle von hinten hat also den Wert [mm] 2^{i-1}.
[/mm]
Zu a)
Demnach hat die Zahl [mm] 2^i+2^j [/mm] eine 1 an (i+1). und eine 1 an (j+1). Stelle und sonst überall Nullen. (und nicht, wie Bastiane schreibt, an [mm] 2^i-ter [/mm] Stelle).
Beispiel: [mm] 2^{11}+2^4 [/mm] = 100000010000 (1 an 12. und 5. Stelle von hinten)
Zu b)
Ich lese, dass [mm] 2^n [/mm] dargestellt werden soll, sehe aber in deinem Ansatz, dass wohl [mm] 2^n-1 [/mm] gemeint ist.
[mm] 2^n [/mm] = 100000...0 mit n Nullen.
[mm] 2^n-1 [/mm] = 1 weniger.
Wäre dies eine Zahl im 10-er-System, würde man n-1 9-en schreiben.
Im Dualsystem ist es "genau so", nur gibt es keine 9-en, sondern statt dessen 1-en:
[mm] 2^n-1 [/mm] = 11111...11 mit n 1-en. Zählt man nun noch 1 hinzu, erhält man die nächst größere Zahl, nämlich 1000...00 mit n Nullen.
c)
[mm] 2^0+2^2+2^4+2^6... [/mm] besteht abwechselnd aus 1-en und 0-en, wobei am Ende wegen [mm] 2^0 [/mm] eine 1 steht, also z.B.
101010101010101. Die höchste Potenz ist [mm] 2^{2(n-1)}= 2^{2n-2)}, [/mm] die vorderste 1 ist also die (2n-1). Ziffer.
Die "Zusatzfrage" ist offensichtlich falsch dargestellt, wie am Beispiel n=3 erkennbar: [mm] 2^0+2^2+2^4 [/mm] = 1+4+16=21
Womit muss man 21 (Dezimal) multiplizieren, um [mm] 2^{6-1}=32 [/mm] zu erhalten? Die Lösung wäre ein Bruch. Tatsächlich heißt die Aufgabenstellung wohl: ... um [mm] 2^6-1 [/mm] = 63 zu erhalten? Mit 3.
Es ist dual: 1010101010101 * 11
1010101010101
1010101010101
11111111111111 = [mm] 2^{2n}-1
[/mm]
11 hat den Wert 3.
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