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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Sa 22.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Hallo zusammen, brauche dringend Hilfe für eine Aufgabe, die wir abgeben müssen:
Der Schütze Markus trifft ein Ziel mit 80%iger Wahrscheinlichkeit, sein Kollege Steffen dagegen nur mit 50 %iger Wahrscheinlichkeit. Bei einem Spiel beschließen Sie, dass sie immer abwechseld auf das Ziel schießen, allerdings so, dass der andere nach jedem Nichttreffer weiter schießen darf.
Stellen Sie den Sachverhalt in einem Prozessdiagramm dar. Geben Sie außerdem die Übergangsmatrix an. Bestimmen Sie dann ausgehend von "Markus beginnt" die Wahrschenlichkeiten für die ersten fünf Durchgänge.
Ich hab leider keine Ahnung wie ich beginnen soll. Mir fehlt hier auch der Endzustand.
Wäre für Hilfe sehr dankbar!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 So 23.10.2005 | | Autor: | Samurai |
Hallo Sven,
das Problem, was du da schilderst, nennt sich Markov-Kette. ![[]](/images/popup.gif) Hier findest du Hinweise, die dich hoffentlich weiter bringen.
Gruß,
Marco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 23.10.2005 | | Autor: | svenchen |
danke für deine antwort. ja,ich weiß wie eine markov kette aufgebaut ist usw, wir haben diese aufgabe auch als übungsaufgabe dazu auf.
nur ich weiß nicht, wie ich anfangen soll bzw. wie ich diese aufgabe übersetze. hat einer vorschläge?
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Hi, svenchen,
das Diagramm kann ich Dir hier nicht zeigen.
Aber die Übergangsmatrix (beginnend mit Markus) sieht so aus:
[mm] M_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,5 & 0,5 }
[/mm]
Der Startvektor ist (1 ; 0)
Naja: Und nun musst Du den halt mit [mm] M_{1} [/mm] multiplizieren:
[mm] M_{1} [/mm] = [mm] (1;0)*\pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = (0,8; 0,2)
Nun multiplizierst Du den wieder mit [mm] M_{1} [/mm] usw.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 23.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Hi zwerglein, danke !
nur ich verstehe grad noch nicht so genau, wie die matrix zu standegekommen ist und wieso der startvektor gerade so aussieht. kannst du mir da vielleicht noch etwas zu sagen ?
mfg
sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 23.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Svenchen!
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie die Aufgabe zu verstehen ist. Wann wechselt der Schütze? Wenn der Schütze vorher getroffen hat oder wenn er nicht getroffen hat? Das habe ich nicht ganz verstanden? Schießt man also so lange, wie man trifft oder so lange, bis man zum ersten Mal trifft?
Auf jeden Fall haben wir ja eine Matrix [mm] $\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}$, [/mm] und hierbei sind:
[mm] $a_{11}$: [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass Markus dran ist, wenn Markus vorher geschossen hat
[mm] $a_{12}$: [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass Steffen dran ist, wenn Markus vorher geschossen hat
[mm] $a_{21}$: [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass Markus dran ist, wenn Steffen vorher geschossen hat
[mm] $a_{22}$: [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass Steffen dran ist, wenn Steffen vorher geschossen hat
Wir beginnen nun mit dem Vektor [mm] $\pmat{1 & 0}$. [/mm] Klar, weil es eben sicher ist, dass Markus beginnt. Sprich, die Wahrscheinlichkeit, dass Markus anfängt, ist gleich $1$.
Nach einem Versuch sieht der Zustandsvektor so aus:
[mm] $\pmat{1 & 0} \cdot \pmat{0\!,8 & 0,\!2 \\ 0\!,5 & 0\!,5} [/mm] = [mm] \pmat{ 0\!,8 & 0\!,2}$.
[/mm]
Nach dem ersten Schuss (von Markus) ist also Markus mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] $0\!,8$ [/mm] dran und Steffen mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] $0\!,2$.
[/mm]
Usw. ich hoffe das war verständlich.
Das alles ist nur richtig, wenn die Aufgabe so gemeint war, wie Zwerglein sie verstanden hat (nämlich, dass (nur) beim Fehlschuss der Schütze wechselt; genau das ist mir aber nicht hundertprozentig klar).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 So 23.10.2005 | | Autor: | svenchen |
hmm ich komme wenn ich die Multiplikation der Matrix M1 mit dem Startvekrot durchführe nicht auf (0,8; 0,2) sondern aus (0,8;0,5) .....
[mm] \vektor{0,8*1 + 0,2 * 0 \\ 0,5 * 1 + 0,5 * 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0,8 \\ 0,5}
[/mm]
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Hi, svenchen,
> hmm ich komme wenn ich die Multiplikation der Matrix M1 mit
> dem Startvekrot durchführe nicht auf (0,8; 0,2) sondern
> aus (0,8;0,5) .....
>
> [mm]\vektor{0,8*1 + 0,2 * 0 \\ 0,5 * 1 + 0,5 * 0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{0,8 \\ 0,5}[/mm]
Damit hatte ich anfangs auch immer Probleme!
Aber: Bei der Markov-Kette werden Vektoren NICHT wie in der Geometrie in Spaltenform, sondern in Zeilenform geschrieben.
Daher auch NICHT: Matrix * Vektor = Vektor,
sondern: Vektor * Matrix = Vektor!
Dann kriegst Du auch das Richtige raus!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 23.10.2005 | | Autor: | svenchen |
ERstmal vielen DAnk an euch beide finde sehr toll dass so eine Hilfe hier möglich ist !!!
Also ich habe das jetzt mal selbst auf die Beine gestellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
damit würde ich dann aber die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0,8 & 0,8 & 0 &0 \\ 0,2 & 0,2 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0,5 & 0,5}
[/mm]
erhalten.
Wo steckt denn der Denkfehler?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 23.10.2005 | | Autor: | svenchen |
kann es sein, dass meine Matrix so ebenfalls richtig ist ???
Denn wenn ich z.B. die ersten 2. Würfe haben möchte rechne ich ja
M * [mm] \vektor{0 \\ 0,8\\ 0,2\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0,1 \\ 0,64\\ 0,16\\0,1} [/mm] für den zweiten Wurf.
Also 10% Markus nach Steffen, 64% Steffen ist dran obwohl er vorher auch dran war, 16% Steffen ist dran obwohl vorher Markus dran war und zum Schluss noch 10% Steffen nach Steffen.
Wenn man diese Wkeiten über das Baumdiagramm brechnet, stimmen sie mit meinen Ergebnissen überein.
Also könnte an der Matrix doch was Wahres dran sein, oder??? :) Was ist aber mit der Matrix, die ihr rausbekommen habt?????
Allerdings hab ich dann aber die Matrizenmultiplikation so wie in der Algebra durchgeführt, das wäre ja dann falsch. Irgendwie alles komisch....
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Hi, svenchen,
Du denkst zu kompliziert:
(1) Es geht doch nur darum, wer von beiden beim 5. Mal mit welcher Wahrscheinlichkeit "dran" ist, Markus oder Steffen.
(2) Es gibt nur vier Übergänge:
Markus [mm] \to [/mm] Markus (0,8)
Markus [mm] \to [/mm] Steffen (0,2)
Steffen [mm] \to [/mm] Markus (0,5)
Steffen [mm] \to [/mm] Steffen (0,5)
Weiter beachte meine vorige Antwort: Vektoren sind hier Zeilen, keine Spalten, daher:
(1;0)* [mm] \pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = (0,8; 0,2)
(0,8; 0,2)* [mm] \pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = (0,74; 0,26)
(0,74; [mm] 0,26)*\pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = ...
usw.
Stell' Dir mal vor, an dem Spiel wären 3 oder gar 4 Leute beteiligt!
Wie sähe denn dann Deine Matrix aus?! Ich mag' lieber gar nicht dran denken, denn ich hab' noch nicht zu Abend gegessen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 23.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Hi, ich glaub jetzt verstehe ich (war eine meiner ersten Aufgaben zu Markov)
Sieht das Diagramm dazu dann so aus ????
[Dateianhang nicht öffentlich]
... und ergibt sich dann weiter
für Wurf 3: [mm] \vektor{0.722 \\ 0.278}
[/mm]
für Wurf 4: [mm] \vektor{0.7166 \\ 0.2834}
[/mm]
für Wurf 5: [mm] \vektor{0.71498 \\ 0.28502}
[/mm]
und eine Frage hab ich dann auch noch:
in der Aufgabenstellung heisst es ja:
Bestimmen Sie dann ausgehend von "Markus beginnt" die Wahrschenlichkeiten für die ersten fünf Durchgänge.
Bevor ich mich hier bei euch gemeldet habe, habe ich versucht die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass entweder Markus oder Steffen "in Führung liegt" und nicht wie hier "an der Reihe ist". Geht das auch noch? Lässt die Aufgabenstellung nicht viele Interpretationen zu oder kann man hier nur wirklich eine sinnvolle Sache berechnen ??????
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hi, svenchen,
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
also: So gefällt's mir schon besser!
>
> ... und ergibt sich dann weiter
>
> für Wurf 3: [mm]\vektor{0.722 \\ 0.278}[/mm]
>
> für Wurf 4: [mm]\vektor{0.7166 \\ 0.2834}[/mm]
>
> für Wurf 5: [mm]\vektor{0.71498 \\ 0.28502}[/mm]
>
Entschuldige, aber: Am Sonntag abend rechne ich sowas nicht nach!
Sieht aber ziemlich richtig aus!
Nur, dass Du halt immer noch "Spaltenvektoren" schreibst!
Ob das Dein Lehrer akzeptiert?!
> und eine Frage hab ich dann auch noch:
>
> in der Aufgabenstellung heisst es ja:
>
> Bestimmen Sie dann ausgehend von "Markus beginnt" die
> Wahrscheinlichkeiten für die ersten fünf Durchgänge.
>
> Bevor ich mich hier bei euch gemeldet habe, habe ich
> versucht die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass
> entweder Markus oder Steffen "in Führung liegt" und nicht
> wie hier "an der Reihe ist". Geht das auch noch?
Nach der Aufgabenstellung ist es gar nicht möglich, dass Steffen irgendwann "in Führung liegt"! Markus hat immer die Nase vorn!
> Lässt die
> Aufgabenstellung nicht viele Interpretationen zu oder kann
> man hier nur wirklich eine sinnvolle Sache berechnen ??????
Du kannst wirklich nur berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Markus bzw. Steffen beim soundsovielten Wurf "dran sind".
Übrigens: Irgendwann "stabilisiert" sich die Sache und von da an bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich.
(Ich kann Dir sogar das Ergebnis nennen:
[mm] (\bruch{5}{7} [/mm] ; [mm] \bruch{2}{7}). [/mm]
D.h.: Auf lange Sicht gesehen kommt Markus zu 71,43% zum Zug, Steffen zu 28,57%)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 So 23.10.2005 | | Autor: | svenchen |
ja, ok dann werde ich das in Zukunft anders schreiben, ist ja nur eine Formsache. Hiermit bedanke ich mich dann bei allen Beteiligten!!!!! Danke für die Antoworten und Ausdauer aber das Thema ist für mich neu.
Und schon wieder kommt eine Frage: Wie kommt man au das Ergebnis der langen Sicht?
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Hi, svenchen,
> Und schon wieder kommt eine Frage: Wie kommt man au das
> Ergebnis der langen Sicht?
Das nehmt Ihr sicher noch durch!
Dies ist der sog. "Fixvektor"
und berechnet sich in Deinem Beispiel so:
[mm] (x;y)*M_{1} [/mm] = (x;y)
x+y=1
(Da Du 3 Gleichungen für 2 Unbekannte hast, verwendest Du eine davon als Probegleichung; natürlich aber nicht die dritte, also x+y=1)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Mo 24.10.2005 | | Autor: | svenchen |
alles klaro dann insgesammt auch vielen dank für die hilfestellungen!!
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