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Hallo Zusammen,
Es geht um ![[]](/images/popup.gif) folgenden Beweis auf Seite 58 aus diesem Buch. Was ich nicht verstehe, ist der Beweisanfang. Sei z.B. [mm]n:=2\![/mm] und [mm]A:=\left\{(0,0)^T,(-0.5,2)^T,(0.5,2)^T\right\}\subset\mathbb{R}^2[/mm]. Dann wäre [mm]\operatorname{conv}A[/mm] eine Dreiecksfläche mit Ecken aus [mm]A\![/mm]. Wegen [mm](0.25,1.5)^T\in\operatorname{conv}A[/mm] müsste es eine Zerlegung [mm]\lambda_1(0,0)^T+\lambda_2(-0.5,2)^T+\lambda_3(0.5,2)^T=(0.25,1.5)^T[/mm] mit [mm]\textstyle\sum\lambda_i = 1\wedge\lambda_i\ge 0[/mm] geben. Aber ich denke, eine solche Zerlegung gibt es hier nicht. Wo liegt mein Denkfehler?
Bei unserer Aufgabenstellung ist [mm]A\![/mm] "eine Menge von [mm]z\![/mm] Punkten in der Ebene". Kann es sein, daß der obige Beweis bei endlichen Mengen nicht funktioniert?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Zusammen,
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> Es geht um
> folgenden Beweis auf Seite 58
> aus
> diesem Buch.
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> Was ich nicht verstehe, ist der Beweisanfang. Sei z.B.
> [mm]n:=2\![/mm] und
> [mm]A:=\left\{(0,0)^T,(-0.5,2)^T,(0.5,2)^T\right\}\subset\mathbb{R}^2[/mm].
> Dann wäre [mm]\operatorname{conv}A[/mm] eine Dreiecksfläche mit
> Ecken aus [mm]A\![/mm]. Wegen [mm](0.25,1.5)^T\in\operatorname{conv}A[/mm]
> müsste es eine Zerlegung
> [mm]\lambda_1(0,0)^T+\lambda_2(-0.5,2)^T+\lambda_3(0.5,2)^T=(0.25,1.5)^T[/mm]
> mit [mm]\textstyle\sum\lambda_i = 1\wedge\lambda_i\ge 0[/mm] geben.
> Aber ich denke, eine solche Zerlegung gibt es hier nicht.
Doch: [mm] \lambda_1 [/mm] = 2/8, [mm] \lambda_2 [/mm] = 1/8, [mm] \lambda_3 [/mm] = 5/8
FRED
> Wo liegt mein Denkfehler?
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> Bei unserer Aufgabenstellung ist [mm]A\![/mm] "eine Menge von [mm]z\![/mm]
> Punkten in der Ebene". Kann es sein, daß der obige Beweis
> bei endlichen Mengen nicht funktioniert?
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> Vielen Dank für die Hilfe!
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>
>
> Viele Grüße
> Karl
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Hallo Fred,
> Doch: [mm]\lambda_1[/mm] = 2/8, [mm]\lambda_2[/mm] = 1/8, [mm]\lambda_3[/mm] = 5/8
Ok, da habe ich vor dem Schreiben das Nachdenken vergessen... . Aber wie kann man das allgemein beweisen? Ich müßte irgendwie zeigen, dass der Zeilenrang der Matrix [mm]\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&\dots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nm}\end{smallmatrix}\right)[/mm] [mm]n\![/mm] ist, denn dann ließe sich eine Basis aus [mm]a_1,\dotsc,a_m[/mm] konstruieren mit der man jeden Vektor aus [mm]\mathbb{R}^n[/mm] also auch aus [mm]\operatorname{conv}A[/mm] darstellen kann. Nur wie soll ich das machen ohne mehr über die [mm]a_i[/mm] zu wissen? Und selbst wenn ich das gezeigt hätte, müsste man noch zeigen, dass [mm]\textstyle\sum\lambda_i = 1\wedge\lambda_i\ge 0[/mm] ist. Irgendwie finde ich hier keinen Ansatz.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 11.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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