Durchmesser, Metrik < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
hab folgende Aufgabe zu lösen:
(X,d) ist ein pseudometrischer Raum , S Teilmenge von X.
[mm] D(S):=sup\{d(s,s') | s,s' \in S\} \cup \{-\infty,\infty\} [/mm] ist der Durchmesser von S. Teilmengen S mit [mm] D(S)<\infty [/mm] heißen d-beschränkt. Z.z. Die Vereinigung endlich vieler d-beschränkter Teilmengen von X ist d-beschränkt.
Mein Ansatz war der folgende: Für n Teilmengen [mm] S_i [/mm] von X mit i={1,...,n} sei [mm] s_i \in S_i. [/mm] Dann gilt oBdA für alle x [mm] \in S_1 [/mm] und y [mm] \in S_n [/mm] :
d(x,y) [mm] \le d(x,s_1) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} d(s_i,s_{i+1} [/mm] + [mm] d(s_n,y) [/mm]
Hier komm ich dann aber nicht ganz weiter weil ich nicht weiß was ich mit der Summe machen soll, die anderen beiden Terme sind sowieso d-beschränkt.
Wie komme ich jetzt hier weiter oder bin ich völlig auf dem Holzweg?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 So 07.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich denke es ist ein Ding der Unmöglichkeit, für beliebige [mm]x,y\in A\cup B[/mm] explizit eine obere Schranke für $d(x,y)$ zu berechnen, aber ich kann mich auch irren.
Edit: Es ist doch viel einfacher... Du nimmst dir zwei beliebige Elemente [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $b\in [/mm] B$. Dann gilt für alle [mm] $x,y\in A\cup [/mm] B$: [mm]d(x,y) \le d(x,a)+d(a,b)+d(b,y)\le D(A)+d(a,b)+D(B)[/mm]. Fertig 
Jedenfalls kann man die Behauptung durch einen Widerspruchsbeweis zeigen:
Es genügt zu zeigen, dass die Vereinigung zweier d-beschränkter Mengen $A$ und $B$ d-beschränkt ist. Sind $A$ oder $B$ leer, so ist die Behauptung trivial. Wir nehmen nun an, die Behauptung wäre falsch. Dann gäbe es zu jedem [mm] $n\in\IN$ [/mm] Elemente [mm] $a_n,b_n\in A\cup [/mm] B$ mit [mm] $d(a_n,b_n)>n$. [/mm] Da $A$ und $B$ d-beschränkt sind, können wir oBdA [mm] $a_n\in [/mm] A$ und [mm] $b_n\in [/mm] B$ annehmen. Damit folgt [mm] $nn-d(a_1,b_1) [/mm] - D(B)=:n-C$. Jedenfalls wächst die Folge [mm] $\left(d(a_1,a_n)\right)_{n\in\IN}$ [/mm] unbeschränkt, und damit [mm] $D(A)=\infty$ [/mm] - Widerspruch.
Gruß, Robert
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