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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:05 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | (a) Seien [mm] A_i [/mm] (i [mm] \in [/mm] I) Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] sodass je zwei Teilmengen [mm] A_i [/mm] und [mm] A_j [/mm] nichtleeren Durchschnitt haben. Folgt daraus, dass der Durchschnitt (*) [mm] \bigcap_{i \in I}^{} A_i [/mm] nichtleer ist?
(b) Seien [mm] A_i [/mm] (i [mm] \in [/mm] I) Intervalle in [mm] \IR, [/mm] sodass je drei Intervalle [mm] A_i, A_j [/mm] und [mm] A_k [/mm] nichtleeren Durchschnitt haben. Folgt daraus, dass der Durchschnitt (*) auch nichtleer ist? |
Hallo,
also zu der (a) hab ich mir überlegt, dass laut Voraussetzung gilt: [mm] A_i \cap A_j \not= \emptyset. [/mm] Daraus folgt dann, dass es ein Element in dem Schnitt von [mm] A_i [/mm] und [mm] A_j [/mm] geben muss, was äquivalent dazu ist, das es dieses Element auch in [mm] A_i [/mm] und [mm] A_j [/mm] geben muss.
Zu der (b) will ich ein Gegenbeispiel finden, mit Intervallen die gegen Unendlich gehen. Also zum Beispiel [1,n] mit [mm] n\to\infty, [/mm] jedoch hab ich keine Ahnung wie ich das hinbekommen soll.
Kann mir da zufällig jemand Tipps geben?
Danke schon mal vorweg.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mo 02.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Fawkes!
> (a) Seien [mm]A_i[/mm] (i [mm]\in[/mm] I) Teilmengen von [mm]\IR,[/mm] sodass je zwei
> Teilmengen [mm]A_i[/mm] und [mm]A_j[/mm] nichtleeren Durchschnitt haben.
> Folgt daraus, dass der Durchschnitt (*) [mm]\bigcap_{i \in I}^{} A_i[/mm]
> nichtleer ist?
Hier reicht die Angabe eines Gegenbeispiels 3 abgeschlossene Intervalle die aneinander anschliessen sollten genügen.
> (b) Seien [mm]A_i[/mm] (i [mm]\in[/mm] I) Intervalle in [mm]\IR,[/mm] sodass je drei
> Intervalle [mm]A_i, A_j[/mm] und [mm]A_k[/mm] nichtleeren Durchschnitt haben.
> Folgt daraus, dass der Durchschnitt (*) auch nichtleer
> ist?
Ich habe hier auch einen Thread dazu eröffnet, da ich die Frage heute in einem anderen Forum fand (in welchenm ich allerdings nicht gern disskutiere).
mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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