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Durchschnitt Mengenfamilie: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Mi 24.10.2012
Autor: petapahn

Aufgabe
Hallo, wir haben aufgeschrieben:
Es sei A= [mm] \IR_{+}. [/mm] und für [mm] \alpha \in [/mm] A sei [mm] U_{\alpha} [/mm] = ((-1+a), 1+a) eine offene Menge. Dann gilt: [mm] \bigcap_{\alpha \in A} U_{\alpha} [/mm] = [-1,1].

Meine Frage ist, warum der Durchschnitt dieser Mengenfamilie [-1,1] geht. Denn A ist ja R+, also nicht 0, d.h. -1+a kann ja gar nicht -1 oder 1 sein. Kann mir das bitte jemand (verständlich!!) erklären. Denn meiner Meinung nach müsste der Durchschnitt die leere Menge sein.

        
Bezug
Durchschnitt Mengenfamilie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mi 24.10.2012
Autor: fred97


> Hallo, wir haben aufgeschrieben:
> Es sei A= [mm]\IR_{+}.[/mm] und für [mm]\alpha \in[/mm] A sei [mm]U_{\alpha}[/mm] =
> ((-1+a), 1+a) eine offene Menge. Dann gilt: [mm]\bigcap_{\alpha \in A} U_{\alpha}[/mm]
> = [-1,1].
>  Meine Frage ist, warum der Durchschnitt dieser
> Mengenfamilie [-1,1] geht. Denn A ist ja R+, also nicht 0,
> d.h. -1+a kann ja gar nicht -1 oder 1 sein. Kann mir das
> bitte jemand (verständlich!!) erklären. Denn meiner
> Meinung nach müsste der Durchschnitt die leere Menge sein.


x [mm] \in [/mm] $ [mm] \bigcap_{a \in A} U_{a} [/mm] $  [mm] \gdw [/mm] -1+a<x<1+a  für alle a>0

Hilft das ?

Edit: ich sehe gerade, dass ich nicht genau hingesehen habe. Obiger Durchschnitt ist leer.

FRED


Bezug
                
Bezug
Durchschnitt Mengenfamilie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mi 24.10.2012
Autor: petapahn

danke, aber das hilft mir iwie nicht wirklich. Der Durchschnitt bedeutet doch, dass alle Mengen der Mengenfamilie diese Elemente bzw. dieses Intervall gemeinsam haben. also wenn ich zB. U1 betrachte, ist a=1 --> also geht Menge U1 von 0 bis 2. Menge U2 analog von 1 bis 3 und so weiter. Also haben doch alle diese Mengen keinen gemeinsamen Durchschnitt, oder?

Bezug
                        
Bezug
Durchschnitt Mengenfamilie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Mi 24.10.2012
Autor: tobit09

Hallo petapahn,


> Der Durchschnitt bedeutet doch, dass alle Mengen der
> Mengenfamilie diese Elemente bzw. dieses Intervall
> gemeinsam haben. also wenn ich zB. U1 betrachte, ist a=1
> --> also geht Menge U1 von 0 bis 2. Menge U2 analog von 1
> bis 3 und so weiter. Also haben doch alle diese Mengen
> keinen gemeinsamen Durchschnitt, oder?

Du hast völlig recht. Der Durchschnitt ist die leere Menge.


Vermutlich war als Definition von [mm] $U_\alpha$ [/mm] jedoch

     [mm] $U_\alpha:=(-\blue{(}1+\alpha),1+\alpha)$ [/mm]

gemeint und irgendjemand hat nur die von mir blau markierte Klammer versehentlich falsch gesetzt.

Mit der richtig gesetzten Klammer stimmt die Aussage aus der Aufgabenstellung wieder.


Viele Grüße
Tobias


Bezug
                                
Bezug
Durchschnitt Mengenfamilie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Mi 24.10.2012
Autor: petapahn

Vielen Dank! Nun ist es selbstverständlich klar. Immer wieder diese nervigen Fehler von den Professoren im Skript... ;)
lg petapahn

Bezug
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