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Hallo, liebe Forenmitglieder
Wieviele male muss man im Durchschnitt mit einem fairen Würfel würfeln, bis alle sechs verschiedene Augenzahlen siche reignet haben?
Momentan weiss ich nicht wie ich dieses Problem geschickt und richtig angehe.
Also der erste Wurf ist egal: 1
Zweite Wurf, alle Zahlen ausser die bereits geworfene: [mm] \bruch{5}{6}
[/mm]
Dritter Wurf, alle Zahlen ausser die bereits geworfenen: [mm] \bruch{4}{6}
[/mm]
Vierter Wurf, alle Zahlen ausser die bereits geworfenen: [mm] \bruch{3}{6}
[/mm]
Fünfter Wurf, alle Zahlen ausser die bereits geworfenen: [mm] \bruch{2}{6}
[/mm]
Sechster Wurf, alle Zahlen ausser die bereits geworfenen: [mm] \bruch{1}{6}.
[/mm]
Nun komme ich so nicht wirklich weiter. Kann mir jemand sozusagen ein Rezept erklären, zur Lösung solcher Aufgaben?
Vielen Dank
Gruss Dani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Forenmitglied,
Ich erkläre dir das Prinzip, wie man es hier lösen kann, das Prinzip ist dann bei ähnlichen Aufgaben der Form "Wie oft muss man Sammelkarten ziehen, damit man alle 50 beisammen (wobei natürlich das Ziehen aller gleichwahrscheinlich ist)" auch anwendbar.
> Wieviele male muss man im Durchschnitt mit einem fairen
> Würfel würfeln, bis alle sechs verschiedene Augenzahlen
> siche reignet haben?
Du definierst dir eine Zufallsvariable [mm] N_{i} [/mm] als Anzahl der Würfe, die du gebraucht hast, bis du i Zahlen beisammen hast (also schonmal i verschiedene Zahlen gefallen sind). Definiere [mm] N_{0}:= [/mm] 0 sinnvollerweise.
Du suchst dann logischerweise [mm] E(N_{6}).
[/mm]
Nun schaust du dir die Verteilung von [mm] $D_{i}:=N_{i}-N_{i-1}$ [/mm] an. Es gilt ja
[mm] $N_{6} [/mm] = [mm] (N_{6} [/mm] - [mm] N_{5}) [/mm] + [mm] (N_{5} [/mm] - [mm] N_{4}) [/mm] + ... + [mm] (N_{1}-N_{0})$
[/mm]
(wegen [mm] N_{0} [/mm] := 0), also
[mm] $N_{6} [/mm] = [mm] D_{6} [/mm] + [mm] D_{5} [/mm] + ... + [mm] D_{1}$,
[/mm]
also
[mm] $E(N_{6}) [/mm] = [mm] E(D_{6}) [/mm] + ... + [mm] E(D_{1})$.
[/mm]
Wenn du also die Verteilung von [mm] D_{i} [/mm] kennst und von dieser Verteilung den Erwartungswert bestimmen kannst, hast du schon gewonnen 
Nun musst du dir über [mm] D_{i} [/mm] Gedanken machen. Da [mm] $D_{i}:=N_{i}-N_{i-1}$, [/mm] bezeichnet [mm] D_{i} [/mm] also die Anzahl der Würfe, die benötigt wurden, um von (i-1) verschiedenen Zahlen, die man schon gewürfelt hatte, auf i Zahlen zu kommen. Man "wartet" also auf die i-te Zahl, die immer mit gleicher Wahrscheinlichkeit kommt, nämlich mit der Wahrscheinlichkeit:
$p = [mm] \frac{7-i}{6}$.
[/mm]
(Mach' dir das klar, ist nicht schwer).
Wenn wir also darauf "warten", dass endlich mal diese Wahrscheinlichkeit eintritt, handelt es sich bei [mm] D_{i} [/mm] um eine geometrisch verteilte Größe mit Parameter p wie oben.
Der Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariable ist bekanntermaßen 1/p.
Also wissen wir:
[mm] $E(D_{i}) [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{7-i}{6}} [/mm] = [mm] \frac{6}{7-i}$.
[/mm]
Nun müssen wir das oben nur noch einsetzen, und schon sind wir fertig:
[mm] $E(N_{6}) [/mm] = [mm] E(D_{6}) [/mm] + ... + [mm] E(D_{1}) [/mm] = [mm] \frac{6}{1} [/mm] + [mm] \frac{6}{2} [/mm] + [mm] \frac{6}{3} [/mm] + [mm] \frac{6}{4} [/mm] + [mm] \frac{6}{5} [/mm] + [mm] \frac{6}{6} [/mm] =14.7$,
wenn ich mich nicht irre
Grüße,
Stefan
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Hallo Steppenhahn
Deine Erklärungen waren mir eine grosse Hilfe.
Danke für deine Bemühungen
Gruss Forenmitglied
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