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Forum "Analysis des R1" - Durchschnittsmenge
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Durchschnittsmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Mo 14.03.2011
Autor: Loriot95

Aufgabe
Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm] \bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\} [/mm]


Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist? Für x [mm] \ge [/mm] 1 gibt es doch kein n [mm] \in \IN, [/mm] sodass x-1 < [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Für x < 1 gehts doch auch nicht. Oder sehe ich das völlig falsch?

LG Loriot95

        
Bezug
Durchschnittsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Mo 14.03.2011
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm]\bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\}[/mm]
>  
> Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist?

Ja

> Für x [mm]\ge[/mm] 1 gibt es doch kein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass x-1 <
> [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]

Na klar gibts so was :  für x=1,1 ist x-1<1/2


> Für x < 1 gehts doch auch nicht.

Was geht nicht ???


>  Oder sehe
> ich das völlig falsch?

Keine Ahnung. Möglicherweise hast Du oben das Richtige gemeint, Dich aber sehr unglücklich ausgedrückt.

Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann gibt es also ein x mit:


                            $ 0 < x-1 < [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm]   für jedes n [mm] \in \IN. [/mm]

Du erhältst mit $n [mm] \to \infty$ [/mm] daraus einen Widerspruch. Welchen ?

FRED

>  
> LG Loriot95


Bezug
                
Bezug
Durchschnittsmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Mo 14.03.2011
Autor: Loriot95


> > Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm]\bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\}[/mm]
>  
> >  

> > Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist?
>
> Ja
>  
> > Für x [mm]\ge[/mm] 1 gibt es doch kein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass x-1 <
> > [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Na klar gibts so was :  für x=1,1 ist x-1<1/2

Das ist richtig. So wie du unten geschrieben hast habe ich mich unglücklich ausgedrückt. Meinte natürlich für 0 < x-1 < [mm] \bruch{1}{n}. [/mm]

>
> > Für x < 1 gehts doch auch nicht.
>  
> Was geht nicht ???
>  
>
> >  Oder sehe

> > ich das völlig falsch?
>  
> Keine Ahnung. Möglicherweise hast Du oben das Richtige
> gemeint, Dich aber sehr unglücklich ausgedrückt.
>  
> Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann
> gibt es also ein x mit:
>  
>
> [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm]   für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
>  
> Du erhältst mit [mm]n \to \infty[/mm] daraus einen Widerspruch.
> Welchen ?

Na ja dann müsste 0 < x-1 und x-1 < 0 für n gegen unendlich gelten. Aber damit habe ich doch nur gezeigt das dies im unendlichen der Fall ist. Sollte ich das ganze mit Induktion beweisen?

> FRED
>  >  
> > LG Loriot95
>  


Bezug
                        
Bezug
Durchschnittsmenge: Archimedisches Axiom
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Mo 14.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Loriot,
> > Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann
> > gibt es also ein x mit:
>  >  
> >
> > [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm]   für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
>  >  
> > Du erhältst mit [mm]n \to \infty[/mm] daraus einen Widerspruch.
> > Welchen ?
>  Na ja dann müsste 0 < x-1 und x-1 [mm] \red{\leq} [/mm] 0 für n gegen
> unendlich gelten. Aber damit habe ich doch nur gezeigt das
> dies im unendlichen der Fall ist. Sollte ich das ganze mit
> Induktion beweisen?

Nein. Kennst du das archimedische Axiom? Es besagt leicht abgewandelt, zu jedem [mm] y=x-1\in\IR^+ [/mm] gibt es ein [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] y>\frac{1}{n}. [/mm]
Anders gesagt: [mm] \frac{1}{n} [/mm] wird beliebig klein, daher lässt sich immer ein n finden, sodass die Eigenschaft oben erfüllt ist.
Auf die Aufgabe bezogen: Es gibt immer eine Menge, in der x-1 für beliebig gewähltes x nicht enthalten ist.

>  

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Durchschnittsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Mo 14.03.2011
Autor: fred97


> > > Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm]\bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist?
> >
> > Ja
>  >  
> > > Für x [mm]\ge[/mm] 1 gibt es doch kein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass x-1 <
> > > [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
> >
> > Na klar gibts so was :  für x=1,1 ist x-1<1/2
>   Das ist richtig. So wie du unten geschrieben hast habe
> ich mich unglücklich ausgedrückt. Meinte natürlich für
> 0 < x-1 < [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
>  >

> > > Für x < 1 gehts doch auch nicht.
>  >  
> > Was geht nicht ???
>  >  
> >
> > >  Oder sehe

> > > ich das völlig falsch?
>  >  
> > Keine Ahnung. Möglicherweise hast Du oben das Richtige
> > gemeint, Dich aber sehr unglücklich ausgedrückt.
>  >  
> > Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann
> > gibt es also ein x mit:
>  >  
> >
> > [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm]   für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
>  >  
> > Du erhältst mit [mm]n \to \infty[/mm] daraus einen Widerspruch.
> > Welchen ?
>  Na ja dann müsste 0 < x-1 und x-1 < 0 für n gegen
> unendlich gelten. Aber damit habe ich doch nur gezeigt das
> dies im unendlichen der Fall ist. Sollte ich das ganze mit
> Induktion beweisen?

Unsinn.

Aus $ 0 < x-1 < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $   für jedes n $ [mm] \in \IN. [/mm] $  folgt der Widerspruch  [mm] 0
FRED


>  > FRED

>  >  >  
> > > LG Loriot95
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Durchschnittsmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Mo 14.03.2011
Autor: Loriot95


>  
> Aus [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm]   für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]  folgt
> der Widerspruch  [mm]0
>  
> FRED

Ok, ja das sehe ich ein. Das bedeutet doch das es solch eine Menge gar nicht gibt und somit auch keinen Durchschnitt, oder?

LG Loriot95



Bezug
                                        
Bezug
Durchschnittsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mo 14.03.2011
Autor: fred97


>
> >  

> > Aus [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm]   für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]  folgt
> > der Widerspruch  [mm]0
>  >  
> > FRED
>  
> Ok, ja das sehe ich ein. Das bedeutet doch das es solch
> eine Menge gar nicht gibt und somit auch keinen
> Durchschnitt, oder?

Doch so eine Menge gibt es:  $ [mm] \bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm]

FRED

>  
> LG Loriot95
>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Durchschnittsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Mo 14.03.2011
Autor: Loriot95

Ok, vielen Dank an alle. :)

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