Dyn. Systeme, period. Punkte < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \psi [/mm] : [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] ein Dynamisches System und B(x) deren Bahn( Trajektorie) eines Startpunktes x [mm] \in \IR [/mm] . Ein Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] B(x) heißt periodischer Punkt, wenn r [mm] \not= [/mm] 0 existiert so dass [mm] \psi(t_{0}+r;x)=\psi (t_{0};x)= x_{0} [/mm] gilt. Das kleinste positive r heist dann Periode des Punktes [mm] x_{0}.
[/mm]
Zeigen Sie: hat [mm] x_{0}\in [/mm] B(x) die Periode s, so sind alle p [mm] \in [/mm] B(x) periodische Punkte mit Periode s |
Hallo Leute,
Ich hab mir die ganze Sache mal an einen Beispiel klar gemacht was es bedeutet aber ich weis irgendwie nich genau was ich zu zeigen hab.
Also wenn man zum Beispiel Ein Pendel ohne Dämpfung betrachtet gibt es ja auf jeden Fall einen periodischen Punkt und es sind sogar alle Punkte auf der Bahn periodisch.
Wie kann ich denn jetzt am besten anfangen? Also ich muss ja aus dem gegebenen Punkt auf alle Punkte schließen also von
[mm] \psi(t_{0}+s;x)=\psi (t_{0};x)= x_{0} [/mm] auf [mm] \psi(t+s;x)=\psi [/mm] (t;x)= p
Also ich weis das ich ja irgendwie die Eigenschaften vom Dynamischen System dafür verwenden muss und insbesondere [mm] \psi(t+r;x)=\psi (t;\psi [/mm] (r;x)
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich anfangen kann?
Grüße Seamus
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Hallo,
ganz einfach gesagt: alle Punkte [mm] x_i \in [/mm] B(x) lassen sich als [mm] x_i=\phi(t_0+t_i,x) [/mm] darstellen, oder?
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Also so richtig weiter hilft mir das noch nicht aber ich probiers mal so^^
zz: [mm] x_{i}= \psi (t_{0}+t_{i};x)
[/mm]
[mm] \psi (t_{0}+t_{i};x)= \psi (t_{0}+s-s+t_{i};x)=\psi(-s+t_{i};\psi(t_{0}+s;x))
[/mm]
(nach Vor.) [mm] =\psi (-s+t_{i};x_{0}) [/mm] = [mm] \psi (t_{i}; \psi(-s;x_{0}) [/mm] ???? [mm] =x_{i}
[/mm]
irgendwie werd ich nicht schlauer daraus!
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Mir fällt auf: es muss heißen [mm] \phi(0,x_0)=x_0, [/mm] ansonsten ist die Definition widersprüchlich! Dann ist [mm] \phi(s,x_0)=x_0 [/mm] sowie [mm] \phi(t_i+s,x_0)=\phi(t_i,\phi(s,x_0))=\phi(t_i,x_0)=\phi(0,x_i)
[/mm]
sry fürs Vorgreifen
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Di 11.05.2010 | | Autor: | gfm |
Vielleicht auch so:
[mm]\psi_{p+r}(x)=\psi_{p-t_0+r+t_0}(x)=(\psi_{p-t_0}\circ \psi_{r+t_0})
(x)
=\psi_{p-t_0}(\psi_{r+t_0}(x))=\psi_{p-t_0}((\psi_r\circ\psi_{t_0})(x))
=\psi_{p-t_0}(\psi_r(\psi_{t_0}(x)))=\psi_{p-t_0}(\psi_{t_0}(x))
=(\psi_{p-t_0}\circ\psi_{t_0})(x)=\psi_{p-t_0+t_0}(x)=\psi_p(x)
[/mm]
LG
gfm
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