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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:47 Mo 04.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo, liebe Mathe-Gemeinde,
[mm] $\\$
[/mm]
ich habe einen kommutativen Operator [mm] "$\&$" [/mm] (sprich "mit") auf Matrizen erfunden/entdeckt?
Naja, wahrscheinlich waren da mal wieder meine Kolleginnen/Kollegen schneller?
[mm] $\\ \\$
[/mm]
Es sei [mm] $L:=x\mapsto\frac{ln(x)}{x-1}$ .$\\$
[/mm]
[mm] $\\$Es [/mm] seien jeweils zwei Matrizen [mm] $A,B\in\mathbb R^{2x2}$, [/mm] bzw. $ [mm] C,D\in\mathbb R^{2x2}$ gegeben.$\\$
[/mm]
Dann operiert [mm] "$\&$" [/mm] wie folgt : [mm] $\\ \\$
[/mm]
I) [mm] $A:=\left( \begin{array}{cc} 1&t \\ 0&1 \end{array} \right)$ [/mm] und [mm] $B:=\left( \begin{array}{cc} 1&0 \\ t&1 \end{array} \right)\Rightarrow A\&B=\left( \begin{array}{cc} \cosh(t)&\sinh(t) \\ \sinh(t)&\cosh(t) \end{array} \right)\\$
[/mm]
II) [mm] $C:=\left( \begin{array}{cc} m&a \\ 0&1 \end{array} \right)$ [/mm] und [mm] $D:=\left( \begin{array}{cc} n&b \\0&1 \end{array} \right)\Rightarrow C\&D=\left( \begin{array}{cc} m\cdot n&\frac{L(m)\cdot a+L(n)\cdot b}{L(m\cdot n)}) \\ 0&1 \end{array} \right)$
[/mm]
[mm] $\\ \\$
[/mm]
Ich habe [mm] $\left( \begin{array}{cc} \cosh(t)&\sinh(t) \\ \sinh(t)&\cosh(t) \end{array} \right)$ [/mm] mal im Zusammenhang mit [mm] $\\$linearen [/mm] Flüssen [mm] gesehen.$\\ \\$ [/mm]
[mm] $\left( \begin{array}{cc} m\cdot n&\frac{L(m)\cdot a+L(n)\cdot b}{L(m\cdot n)}) \\ 0&1 \end{array} \right)$ [/mm] habe ich hingegen nirgends gesehen.
[mm] $\\ \\$Weiss [/mm] da jemand mehr?
[mm] $\\ \\$
[/mm]
Ich habe die Frage mit diesen Beispielen auf keinem anderen Forum gestellt.
[mm] $\\ \\$
[/mm]
Gruß Kai
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> Hallo, liebe Mathe-Gemeinde,
> [mm]\\[/mm]
> ich habe einen kommutativen Operator "[mm]\&[/mm]" (sprich "mit")
> auf Matrizen erfunden/entdeckt?
> Naja, wahrscheinlich waren da mal wieder meine
> Kolleginnen/Kollegen schneller?
> [mm]\\ \\[/mm]
> Es sei [mm]L:=x\mapsto\frac{ln(x)}{x-1}[/mm] .[mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]Es seien jeweils zwei Matrizen [mm]A,B\in\mathbb R^{2x2}[/mm],
> bzw. [mm]C,D\in\mathbb R^{2x2}[/mm] gegeben.[mm]\\[/mm]
> Dann operiert "[mm]\&[/mm]" wie folgt : [mm]\\ \\[/mm]
> I) [mm]A:=\left( \begin{array}{cc} 1&t \\ 0&1 \end{array} \right)[/mm]
> und [mm]B:=\left( \begin{array}{cc} 1&0 \\ t&1 \end{array} \right)\Rightarrow A\&B=\left( \begin{array}{cc} \cosh(t)&\sinh(t) \\ \sinh(t)&\cosh(t) \end{array} \right)\\[/mm]
>
> II) [mm]C:=\left( \begin{array}{cc} m&a \\ 0&1 \end{array} \right)[/mm]
> und [mm]D:=\left( \begin{array}{cc} n&b \\0&1 \end{array} \right)\Rightarrow C\&D=\left( \begin{array}{cc} m\cdot n&\frac{L(m)\cdot a+L(n)\cdot b}{L(m\cdot n)}) \\ 0&1 \end{array} \right)[/mm]
>
> [mm]\\ \\[/mm]
> Ich habe [mm]\left( \begin{array}{cc} \cosh(t)&\sinh(t) \\ \sinh(t)&\cosh(t) \end{array} \right)[/mm]
> mal im Zusammenhang mit [mm]\\[/mm]linearen Flüssen gesehen.[mm]\\ \\[/mm]
> [mm]\left( \begin{array}{cc} m\cdot n&\frac{L(m)\cdot a+L(n)\cdot b}{L(m\cdot n)}) \\ 0&1 \end{array} \right)[/mm]
> habe ich hingegen nirgends gesehen.
> [mm]\\ \\[/mm]Weiss da jemand mehr?
> [mm]\\ \\[/mm]
> Ich habe die Frage mit diesen Beispielen auf keinem
> anderen Forum gestellt.
> [mm]\\ \\[/mm]
> Gruß Kai
Hallo Kai,
ich kann in deinen Angaben keine klare Definition
eines Operators für 2x2 - Matrizen erkennen.
Ein solcher sollte doch wohl für beliebige solche
Matrizen definiert sein. Du gibst aber nur Formeln
für zwei relativ spezielle Fälle an - und meine
Wenigkeit kann auch in diesen Formeln keinerlei
Systematik erkennen.
Es scheint, dass auch Andere in deiner Frage
nur ein Rätsel sehen - sonst wären wohl schon
Antworten eingetroffen ...
LG , Al-Chwarizmi
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> >
> > Es scheint, dass auch Andere in deiner Frage
> > nur ein Rätsel sehen - sonst wären wohl schon
> > Antworten eingetroffen ...
> >
>
> Hallo,
> das macht mir Hoffnung, dass ich Neuland betrete 
Naja, es gibt verschiedene Sorten von "Neuland". Ob es
z.B. nur Morast war, merkt man vielleicht erst etwas
später ...
> Wie hat man vor knapp 33 Jahren zu
> ![[]](/images/popup.gif) Mandelbrot
> gesagt :
> "Was hoffst Du mit der Iteration von [mm]x^2+c[/mm] im Komplexen
> zu finden?"
>
> Und um mich auf Mandelbrots Seite zu schlagen,
> definiere ich mir einen Operator wie folgt, der
> zunächst nach nichts Besonderem aussieht :
>
> [mm]A\&B = \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{2}\cdot (A^\frac{1}{n}+B^\frac{1}{n}))^{2\cdot n}[/mm]
Aha. Das sieht aber doch ganz anders aus als das,
was du als Vorspeise gereicht hast ...
> Ich wünsche weiterhin fröhliches Rätsel-Raten 
Ob du dazu genügend motiviert hast, wird sich wohl
zeigen. Vielleicht wäre dazu noch hilfreich, wenn du
den Zusammenhang der obigen "neuen" Formel mit
den Beispielen von vorher noch etwas erhellen würdest.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Di 05.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
hier nun die Herleitung für das erste Beispiel :
[mm] $A:=\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow A^{\frac{1}{n}}:=\begin{pmatrix} 1 & \frac{t}{n}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $B:=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ t & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow B^{\frac{1}{n}}:=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ \frac{t}{n} & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
$C:= [mm] A^{\frac{1}{n}}+B^{\frac{1}{n}}=\begin{pmatrix} 2 & \frac{t}{n}\\ \frac{t}{n} & 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $S:=\frac{1}{2}\cdot C=\begin{pmatrix} 1 & \frac{t}{2\cdot n}\\ \frac{t}{2\cdot n} & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
E ist die Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen
[mm] $E:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cdot \frac{t+2\cdot n}{n} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\cdot \frac{-t+2\cdot n}{n} \end{pmatrix}$
[/mm]
V ist der Eigenraum mit den Eigenvektoren
als Spaltenvektoren
[mm] $V:=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $V_i:=V^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
[/mm]
(Um E zu potenzieren, reicht es, die Diagonal-
elemente zu potenzieren)
[mm] $P:=V\circ E^{2\cdot n}\circ V_i,\quad Q:=\lim_{n\to\infty}P\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $Q_{1,1}=\frac{1}{2}\cdot (e^{t}+e^{-t})$
[/mm]
[mm] $Q_{1,2}=\frac{1}{2}\cdot (e^{t}-e^{-t})$
[/mm]
[mm] $Q_{2,1}=\frac{1}{2}\cdot (e^{t}-e^{-t})$
[/mm]
[mm] $Q_{2,2}=\frac{1}{2}\cdot (e^{t}+e^{-t})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] Q = [mm] \begin{pmatrix} \cosh(t) & \sinh(t) \\ \sinh(t) & \cosh(t) \end{pmatrix}$
[/mm]
Gute Nacht
Kai
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Hallo,
die Formel erinnert mich ein wenig an die für den Spektralradius.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Di 05.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Stefan,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe mir den Artikel
zum Spektralradius durchgelesen. Worin genau siehst
Du die Ähnlichkeit?
Ich hatte ja gehofft, dass [mm] \pmat{ \cosh(t) & \sinh(t) \\ \sinh(t) & \cosh(t) }
[/mm]
in der Theorie der linearen Flüsse eine Rolle spielt.
Gruß Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mi 06.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo, liebe Mathe-Gemeinde
Ich hatte ja geschrieben, dass ich in
$ [mm] C:=\left( \begin{array}{cc} m&a \\ 0&1 \end{array} \right)$ [/mm] und $ [mm] D:=\left( \begin{array}{cc} n&b \\0&1 \end{array} \right)\Rightarrow C\&D=\left( \begin{array}{cc} m\cdot n&\frac{L(m)\cdot a+L(n)\cdot b}{L(m\cdot n)}) \\ 0&1 \end{array} \right)$
[/mm]
einen Zusammenhang zwischen Linearer Algebra
und Analysis sehe (weil [mm] $L:=x\mapsto\frac{\ln(x)}{x-1}$).
[/mm]
Ein Zeichen dafür ist auch, dass sich der "&"-Operator
auf die linearen Funktionen übertragen lässt (in der
Tat habe ich ihn dort zuerst aufgestellt und erst später
bei den Matrizen) :
Für zwei lineare Funktionen ist
[mm] $(m\cdot x+a)\&(n\cdot x+b)=m\cdot n\cdot x+\frac{L(m)\cdot a+L(n)\cdot b}{L(m\cdot n)}$
[/mm]
Da ich an dem Durchdringungsoperator - wie ich ihn
auch nenne - seit mehreren Jahren arbeite, würde ich mich
sehr über jegliche Art von Resonanz freuen.
LG
Kai
P.S.: Die Durchdringung linearer Funktionen lässt sich ins
Unendliche fortsetzen. Dann gilt z.B. :
[mm] \[ \lim_{n \to\infty}\left(\&_{k=1}^n\left(\left(\frac{k}{n}\right)^b\cdot x+1\right)\right)(0)=\int\limits_{0}^1\frac{ln(x)}{x^b-1}dx=\frac{1}{b^2}\Psi'(\frac{1}{b}) \mathrm{, mit} \Psi(x)=\frac{\mathrm dln(\Gamma(x))}{\mathrm dx} \]
[/mm]
Einfache Werte der Durchdringung sind:
b = 1: [mm] \frac{\pi^2}{6} [/mm] = [mm] \zeta(2)\\
[/mm]
b = 2: [mm] \frac{\pi^2}{8} \\
[/mm]
b = 4: [mm] \frac{\pi^2}{16}+\frac{1}{2}\ [/mm] Catalan [mm] \hspace{10 mm} \mathrm{mit} \quad [/mm] Catalan = [mm] \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx0,915965594
[/mm]
Gruß nochmal
Kai
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:16 Do 07.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
weiß hier wirklich niemand etwas mit den Formeln
anzufangen? Ich habe mir viel Gedanken dazu
gemacht.
LG
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 22.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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