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| Aufgabe | Es Sei $X$ eine nichtleere Menge. Zeigen Sie: Ein Mengensystem [mm] $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X)$ [/mm] ist genau dann Dynkin-System, wenn gilt:
1. [mm] $X\in\mathcal{A}$
[/mm]
2. Für [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $A\subset [/mm] B$ gilt [mm] $B\backslash A\in \mathcal{A}$
[/mm]
3. Für [mm] $A_n\in\mathcal{A} (n\in\mathbb{N})$ [/mm] mit [mm] $A_1\subset A_2\subset \ldots$ [/mm] gilt [mm] $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A_n}\in\mathcal{A}$ [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich bearbeite im Moment diese Aufgabe un habe bereits folgendes:
[mm] $"\Leftarrow [/mm] "$
[mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist Dynkin-System:
zu 1.:
Da [mm] $\emptyset \in\mathcal{A}$ [/mm] und für [mm] $A\in\mathcal{A}\Rightarrow A^C\in\mathcal{A}$ [/mm] folgt [mm] $\Rightarrow \emptyset^C=X\in\mathcal{A}$
[/mm]
zu 2.:
Wir wählen [mm] $M_1\subset M_2\in\mathcal{A}\Rightarrow M_2^C\in\mathcal{A}$ [/mm] und definieren: [mm] $A_1:=M_1,A_2:=M_2^C,A_n:=\emptyset\; (\forall [/mm] n>2)$ somit:
[mm] $A_1\cap A_2=;M_1\cap M_2^C=\emptyset$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\bigcap_{k\in\mathbb{N}}{A_k}=A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\cap\ldots=M_1\cap M_2^C \cap \emptyset\cap\emptyset\ldots=M_1\cap M_2^C\in\mathcal{A}$
[/mm]
Außerdem: [mm] $M_2\backslash M_1=M_2\cap M_1^C=(M_2^C\cup M_1)^C\in\mathcal{A}$
[/mm]
Bei der 3. weiß ich jedoch leider nicht genau, wie ich das zeigen soll...
da fehlt mir einfach die richtige Idee.
Außerdem habe ich:
[mm] $"\Leftarrow"$
[/mm]
Aus 1. und 2. folgt:
[mm] $X\in\mathcal{A}\Rightarrow X\backslash X=\emptyset \in\mathcal{A}$
[/mm]
Seien [mm] $M_1,M-2\in\mathcal{A}$ (disjunkt)$\Rightarrow M_1\subset M_2^C$
[/mm]
Nun gilt: [mm] $M_2^C\backslash M_1\in\mathcal{A}$ [/mm] und somit: [mm] $M_2^C\backslash M_1=M_2^C\cap M_1^C\in\mathcal{A}$
[/mm]
Nun ist: [mm] $M_1\cup M_2=X\backslash (M_1\cup M_2)^C=X\backslash (M_1^C\cap M_2^C)\in\mathcal{A}$, [/mm] da [mm] $(M_1^C\cap M_2^C)\subset X\in\mathcal{A} [/mm] nach 2.!
Nun bleibt noch der dritte Punkt der Definition eines Dynkin-Systems zu zeigen(Bei uns als Abgeschlossenheit unter der disjunkten Vereinigung definiert).
Auch hier habe ich wieder meine Probleme und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen würde.
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Mi 19.12.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Also zur Richtung [mm] $"\Rightarrow"$ [/mm] habe ich nun eine Idee:
Wir wählen disjunkte [mm] $A_n\in\mathcal{A}\;(n\in\mathbb{N})$ [/mm] und definieren:
[mm] $A_n':=\bigcup_{i=1}^n{A_i}\in\mathcal{A}$, [/mm] da [mm] $A_i'=A_{i-1}'\cup A_{i+1}\in\mathcal{A}\;(1\leq i\leq [/mm] n)$(induktiv) und auf Grund des Synkin-Systems abgeschl. bzgl. [mm] $"\cup"$ [/mm] mit [mm] $A_i\subset A_{i+1}\; (1\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n)$ (induktiv).
Somit erhalten wir [mm] $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A'_n}\in\mathcal{A},\;A_i'\subset A_{i+1}'\; (1\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n) $ (gleiche Argumentation wie oben!)
Passt das?
Vielen Dank
Dudi
Viele
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Do 20.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also zur Richtung [mm]"\Rightarrow"[/mm] habe ich nun eine Idee:
Das, was du schreibst, passt zur Richtung [mm] $"\Leftarrow"$, [/mm] nicht [mm] $"\Rightarrow"$.
[/mm]
> Wir wählen disjunkte [mm]A_n\in\mathcal{A}\;(n\in\mathbb{N})[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> und definieren:
> [mm]A_n':=\bigcup_{i=1}^n{A_i}\in\mathcal{A}[/mm], da
> [mm]A_i'=A_{i-1}'\cup A_{i+1}\in\mathcal{A}\;(1\leq i\leq n)[/mm](induktiv)
[mm] ($2\le [/mm] i$, nicht [mm] $1\le [/mm] i$.) Ja. Hier geht ein, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] unter Vereinigung zweier disjunkter Teilmengen von X abgeschlossen ist. Das hast du im Ausgangspost gezeigt.
> und auf Grund des Synkin-Systems abgeschl. bzgl. [mm]"\cup"[/mm]
Dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ein Dynkin-System ist, versuchst du ja gerade zu zeigen.
> mit
> [mm]A_i\subset A_{i+1}\; (1\leq i \leq n)[/mm] (induktiv).
[mm] $A_i'\subset A_{i+1}'$ [/mm] meinst du.
> Somit erhalten wir
gemäß 3.
> [mm]\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A'_n}\in\mathcal{A},\;A_i'\subset A_{i+1}'\; (1\leq i \leq n)[/mm]
Und da [mm] $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A'_n}=\bigcup_{n\in\IN}A_n$ [/mm] gilt, folgt wie gewünscht [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> (gleiche Argumentation wie oben!)
???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Do 20.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Wenn ich nicht durcheinandergekommen bin, fehlen nun noch zwei Teile:
Zum einen bei der Rück-Richtung der Nachweis, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] unter Komplementbildung abgeschlossen ist. Das hast du vermutlich nur vergessen und bekommst du wahrscheinlich selbst hin.
Zum anderen bei der Hin-Richtung der Nachweis von 3.
Für eine beliebig vorgegebene Folge [mm] $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\ldots$ [/mm] mit [mm] $A_n\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist zu zeigen, dass auch [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt.
Bastele dir dazu mithilfe der Folge der [mm] $A_n$ [/mm] eine Folge paarweise disjunkter Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] auf die du die Abgeschlossenheit von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] unter abzählbarer Vereinigung paarweise disjunkter Mengen anwendest.
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