E-Funktion mit Betragsstrichen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:24 Di 28.06.2005 | | Autor: | das_ich |
Hallo alle zusammen,
ich bräuchte ne Kurvendiskussion zu folgender Funktion
f(x)= [mm] (e^{|x|})/(1+e^x)
[/mm]
Die erste Ableitung kann ich bilden mit [mm] f'(x)=e^x/((1+e^x)^2) [/mm] für x>0, aber wie sieht es mit der Ableitung für x<0 aus???
Dann brauch ich noch die Umkehrfunktion von f(x). Da müsste ich doch eigentlich nur 1/f(x) rechnen, oder? Wenn ja, wieso komm ich da auf kein ordentliches Ergebnis?
Und als drittes muss ich die Funktion noch integrieren. Und da bin ich schon zu lange aus der Schule raus, als dass mir das jetzt einfällt...
Kann mir da irgendjemand helfen?
Danke & viele Grüße
Friederike
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Hallo Friederike,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> ich bräuchte ne Kurvendiskussion zu folgender Funktion
> f(x)= [mm](e^{|x|})/(1+e^x)[/mm]
>
> Die erste Ableitung kann ich bilden mit
> [mm]f'(x)=e^x/((1+e^x)^2)[/mm] für x>0, aber wie sieht es mit der
> Ableitung für x<0 aus???
Benutze doch einfach mal die Definition der Betragsfunktion mit:
[mm] |x|:=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Damit wird Deine Funktion ja zu:
[mm] f(x):=\begin{cases} \bruch{e^x}{1+e^x}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \\ \bruch{e^{-x}}{1+e^x}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
> Dann brauch ich noch die Umkehrfunktion von f(x). Da müsste
> ich doch eigentlich nur 1/f(x) rechnen, oder? Wenn ja,
> wieso komm ich da auf kein ordentliches Ergebnis?
Nein, Du mußt hier zunächst die Variablen vertauschen zu:
$x \ = \ [mm] \bruch{e^y}{1+e^y}$ [/mm] (positiver Ast)
Und nun diese Gleichung nach y umstellen ...
Daraus erhalte ich (bitte nachrechnen!) :
$y \ = \ [mm] f^{-1}(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|\bruch{x}{1-x}\right|$
[/mm]
> Und als drittes muss ich die Funktion noch integrieren. Und
> da bin ich schon zu lange aus der Schule raus, als dass mir
> das jetzt einfällt...
Sieh' dir mal Zähler und Nenner Deiner Funktion an. Dann solltest Du feststellen, daß der Zähler genau der Ableitung vom Nenner entspricht (positiver Ast).
Und für folgenden Typ Integrale gilt:
[mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|f(x)\right| [/mm] \ + \ C$
Ich hoffe, ich konnte etwas helfen ...
Gruß vom
Roadrunner
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