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| Aufgabe | Es existiert die allgemeine Behauptung, dass
[mm] e^{x} [/mm] > [mm] x^{n} [/mm] für x > [mm] 4n^{2} [/mm] ist.
Mich würde mal interessieren wie man auf die [mm] 4n^{2} [/mm] kommt? |
Hallo!
Weis jemand mit welcher Beweismethode man auf die [mm] 4n^{2} [/mm] kommt?
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Sa 04.06.2011 | | Autor: | sangham |
Ich habe noch nie gesehen, dass jemand eine Definition bewiesen hat!
Ob sie nun sinnvoll ist, kann man sicher untersuchen...
Wir haben x > n*log(x) als Äquivalenz. Wenn man [mm] x=4n^2 [/mm] setzt, ist die Aussage für natürliche n sicher richtig.
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Moin!
> Es existiert die allgemeine Definition, dass
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> [mm]e^{x}[/mm] > [mm]x^{n}[/mm] für x > [mm]4n^{2}[/mm] ist.
Wie mein Vorredner schon sagte: Das ist keine Definition, sondern eine Behauptung.
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> Mich würde mal interessieren wie man auf die [mm]4n^{2}[/mm]
> kommt?
> Hallo!
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> Weis jemand mit welcher Beweismethode man auf die [mm]4n^{2}[/mm]
> kommt?
Man kann für [mm] x=4n^2 [/mm] direkt nachrechnen. Unter der Voraussetzung [mm] x=4n^2 [/mm] gilt:
[mm] e^x>x^n=e^{\ln x*n} \gdw x>\ln(x)*n \gdw 4n^2>\ln(4n^2)*n \gdw 4n>2\ln(2n) \gdw 2n>\ln(2n)
[/mm]
Für [mm] x>4n^2 [/mm] kommt ein Monotonieargument an der Stelle [mm] x>\ln(x)*n \gdw \frac{x}{\ln(x)}>n [/mm] ins Spiel [mm] (\ln(x)>1, [/mm] wenn [mm] x>4n^2). [/mm] Überlege dir warum [mm] \frac{x}{\ln(x)} [/mm] monoton steigend für [mm] x>4n^2 [/mm] ist.
Du kannst dazu zum Beispiel die Ableitung von [mm] \frac{x}{\ln(x)} [/mm] untersuchen.
>
> gruß
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo Kamaleonti!
Für die "Definition" entschuldige ich mich ;)
Danke für die schnelle und ausführliche Antwort!
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Sa 04.06.2011 | | Autor: | sangham |
Jepp, soweit ich das richtig sehe, ist [mm] 4n^2 [/mm] auch nicht die einzige Möglichkeit für eine untere Schranke. Die Behauptung müsste auch für [mm] x>n^2 [/mm] richtig sein, denn
n > 2 log(n) gilt für n [mm] \in \IN
[/mm]
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