E- und B-Feld < Elektrik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe ein E und B Feld jeweils in der folgenden Form gegeben:
[mm] $$\vec{E}(\vec{r},t)=Re[\vec{E_0}e^{i(\vek{k}\vec{r}-\omega t)}] [/mm] $$
[mm] $$\vec{B}(\vec{r},t)=Re[\vec{B_0}e^{i(\vek{k}\vec{r}-\omega t)}] [/mm] $$
Weiterhin habe ich [mm] \vec{E_0} [/mm] speziell gegeben durch [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}E_0(\vec{e_x}-i\vec{e_y}). [/mm]
Ich soll jetzt [mm] \vec{B_0} [/mm] bestimmen.
Ich weiß, dass [mm] \vec{E} [/mm] und [mm] \vec{B} [/mm] senkrecht aufeinander stehen. Kann ich dann [mm] \vec{B_0} [/mm] einfach so wählen, dass das Skalarprodukt von [mm] \vec{E_0} [/mm] und [mm] \vec{B_0} [/mm] 0 ergibt oder muss ich was bestimmtes beachten. Also beispielsweise: [mm] \vec{B_0}=\frac{1}{\sqrt{2}}B_0(-\vec{e_x}+i\vec{e_y}). [/mm]
Danke,
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Fr 23.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo zusammen,
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> ich habe ein E und B Feld jeweils in der folgenden Form
> gegeben:
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> [mm]\vec{E}(\vec{r},t)=Re[\vec{E_0}e^{i(\vek{k}\vec{r}-\omega t)}][/mm]
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> [mm]\vec{B}(\vec{r},t)=Re[\vec{B_0}e^{i(\vek{k}\vec{r}-\omega t)}][/mm]
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> Weiterhin habe ich [mm]\vec{E_0}[/mm] speziell gegeben durch
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}E_0(\vec{e_x}-i\vec{e_y}).[/mm]
>
> Ich soll jetzt [mm]\vec{B_0}[/mm] bestimmen.
>
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> Ich weiß, dass [mm]\vec{E}[/mm] und [mm]\vec{B}[/mm] senkrecht aufeinander
> stehen. Kann ich dann [mm]\vec{B_0}[/mm] einfach so wählen, dass
> das Skalarprodukt von [mm]\vec{E_0}[/mm] und [mm]\vec{B_0}[/mm] 0 ergibt oder
> muss ich was bestimmtes beachten. Also beispielsweise:
> [mm]\vec{B_0}=\frac{1}{\sqrt{2}}B_0(-\vec{e_x}+i\vec{e_y}).[/mm]
Die Maxwellgleichungen sollten schon erfüllt sein 
Also setze deine Felder in [mm] \nabla \times \vec{E} + \Dot{\Vec{B}} = 0 [/mm] ein!
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
wäre das dann so richtig:
[mm] \mathrm{rot}\vec{E}=-\vec{B}_t
[/mm]
[mm] i\vec{k}\times(1,-i,0)*\frac{1}{\sqrt{2}}E_0e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=-\vec{B}_t
[/mm]
Also ausgerechnet:
[mm] \vektor{-k_z \\ ik_z \\ k_x-ik_y}*\frac{1}{\sqrt{2}}E_0e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=-\vec{B}_t
[/mm]
Integriere ich das, so komme ich auf
[mm] \vec{B}=\frac{1}{i\omega}\vektor{-k_z \\ ik_z \\ k_x-ik_y}*\frac{1}{\sqrt{2}}E_0e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}
[/mm]
Also ist
[mm] $$B_0=\frac{1}{\sqrt{2}\omega}E_0\vektor{ik_z \\ k_z \\ -ik_x-k_y}
[/mm]
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mi 28.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> wäre das dann so richtig:
>
> [mm]\mathrm{rot}\vec{E}=-\vec{B}_t[/mm]
>
> [mm]i\vec{k}\times(1,-i,0)*\frac{1}{\sqrt{2}}E_0e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=-\vec{B}_t[/mm]
Naja, du musst ein bischen aufpassen, wenn du so die komplexe und reelle Darstellung vermischst. Die echten, messbaren Felder [mm] $\vec{E}$ [/mm] und [mm] $\vec{B}$ [/mm] sind reell.
> Also ausgerechnet:
>
> [mm]\vektor{-k_z \\ ik_z \\ k_x-ik_y}*\frac{1}{\sqrt{2}}E_0e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=-\vec{B}_t[/mm]
Das ist nicht richtig, denn links steht die komplexe Darstellung, rechts die reelle. Der Realteil der linken Seite ist gleich [mm] $-\vec{B}_t$
[/mm]
>
> Integriere ich das, so komme ich auf
>
> [mm]\vec{B}=\frac{1}{i\omega}\vektor{-k_z \\ ik_z \\ k_x-ik_y}*\frac{1}{\sqrt{2}}E_0e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}[/mm]
Selber Fehler.
> Also ist
> [mm] B_0=\frac{1}{\sqrt{2}\omega}E_0\vektor{ik_z \\ k_z \\ -ik_x-k_y}[/mm]
Das ist richtig.
Ein kleiner Punkt: Bei der Zeitintegration kannst du noch eine beliebige zeitunabhängige Funktion als Integrationskonstante addieren. Durch Einsetzen in die anderen Maxwellgleichungen siehst du, dass sie wegfällt.
Du kannst es auch komplett reell rechnen:
[mm] \vec{E} = Re(\vec{E_0}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}) = Re(\vec{E_0}) Re(e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}) - Im(\vec{E_0}) Im(e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{\sqrt{2}} E_0 \cos(\vec{k}\vec{r}-\omega t)\vec{e}_x + \bruch{1}{\sqrt{2}} E_0 \sin(\vec{k}\vec{r}-\omega t)\vec{e}_y [/mm]
[mm] = \bruch{1}{\sqrt{2}} E_0 \vektor{\cos(\vec{k}\vec{r}-\omega t)\\ \sin(\vec{k}\vec{r}-\omega t)\\ 0} [/mm]
und dann die Rotation ausrechnen und nach t integrieren.
NACHTRAG: Du bist aber noch nicht ganz fertig, denn die anderen Maxwellgleichungen liefern dir weitere Bedingungen, diesmal für [mm] $\vec{k}$. [/mm] Setze also auch in [mm] $\nabla\times\vec{B}=\Dot{\Vec{E}}$ [/mm] ein.
Viele Grüße
Rainer
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