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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Abschätzungen!
a) 1 + x [mm] \le e^x \le \bruch{1}{1-x} \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1,1)
b) ln(1+x) > x - [mm] \bruch{1}{2}x^2 \forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
c) ln(1+x) > x - [mm] \bruch{1}{2}x^2 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1)
Hinweis:
Verwenden Sie Teil a) zum Beweis von Teil b) und dass die funktion g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x - [mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] nach oben durch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] beschränkt ist.
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Hallo zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe behilflich sein!
Über Tipps Ideen und Ansätze wäre ich dankbar!!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 27.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo bodo
Wahrscheinlich habt ihr doch [mm] e^x [/mm] durch seine Reihe definiert, dann ist die linke Seite von a dadurch leicht, für die rechte schreib 1/(1-x) als geometrische Reihe.
b) dann mit dem Tip
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also Teil a) habe ich jetzt wie folgt gelöst!
1+x [mm] \le [/mm] |1+x| [mm] \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Bitte um Rückmeldung!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum hast du |1+x| Betrag dazwischen geschrieben?
das ist falsch [mm] |1+x|>e^x [/mm] sicher für x<-2!
aber das willst du ja auch nicht.
Deine Ungleichungen sind richtig, und für x>0 auch selbverständlich, warum gelten sie für x<0? Da gehört noch was dazwischen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
wo muss denn genau noch was zwischen?
Hast du evtl. einen Tipp dazu?
Danke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
den Tip hast du schon von somebody.
Meine Frage war, woher weisst du, dass die 1. Gleichung für negative x richtig ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo
@leduart: Ich weiß doch, dass ich das ganze im offenen Intervall (-1,1) betrachte, und wenn ich
eben Zahlen einsetze, müssten doch immer wahre Aussagaen auftreten!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher weisst du das für alle Zahlen? die kannst du doch nicht alle einsetzen, wenns für -0,7 stimmt warum dann auch für -0,9 usw. Du brauchst also ein Argument ,das alle Zahlen die in Frage kommen umfasst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo,
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> also Teil a) habe ich jetzt wie folgt gelöst!
>
> 1+x [mm]\le[/mm] |1+x| [mm]\le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le \summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> Bitte um Rückmeldung!
Nur so als kurze Nebenbemerkung: [mm]t:x\mapsto 1+x[/mm] ist natürlich die Tangente an den Graphen von [mm]f:x\mapsto e^x[/mm] im Punkt [mm](0,1)[/mm]. Da der Graph der Exponentialfunktion durchgehend gleiche Krümmungsrichtung hat, gilt die Ungleichung [mm]1+x\leq e^x[/mm] sogar für alle [mm]x\in \IR[/mm]. Dies ist also die erste Teilungleichung von a).
Die zweite Teilungleichung von a) kann man auf die erste Teilungleichung zurückführen, indem man, unter der Voraussetzung [mm]1-x>0[/mm], beidseitig zum Kehrwert übergeht. Dann erhält man:
[mm]1-x\leq e^{-x}[/mm] was aufgrund der bereits als allgemein wahr erkannten ersten Teilungleichung von a) ebenfalls wahr sein muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo
> >
> > 1+x [mm]\le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le \summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
> >
Das wäre ja dann die eine Richtung. Um die andere Richtung zu zeigen müsste man das dann wie folgt aufschreiben?
1-x [mm] \le e^{-x}
[/mm]
1-x [mm] \le -\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le -\summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] = [mm] -\bruch{1}{1-x}
[/mm]
Ich wüsste nicht wie ich, dass da jetzt noch aufschreiben kann... eigentlich hab ich doch schon mehr oder weniger gezeigt, dass diese Abschätzung so korrekt ist...
Gruß
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> Hallo
> > >
> > > 1+x [mm]\le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le \summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
> > >
>
> Das wäre ja dann die eine Richtung. Um die andere Richtung
> zu zeigen müsste man das dann wie folgt aufschreiben?
>
> 1-x [mm]\le e^{-x}[/mm]
>
> 1-x [mm]\le -\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le -\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> Ich wüsste nicht wie ich, dass da jetzt noch aufschreiben
> kann... eigentlich hab ich doch schon mehr oder weniger
> gezeigt, dass diese Abschätzung so korrekt ist...
Ja, denke ich auch. Ich wollte Dich mit dieser Nebenbemerkung auch in keiner Weise davon abhalten, Dich nunmehr der Beantwortung der weiteren Teilaufgaben b) und c) zu widmen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also war das so korrekt, wie ich das gemacht habe, ja?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo bodo
> Hallo
> > >
> > > 1+x [mm]\le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le \summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
> > >
>
> Das wäre ja dann die eine Richtung. Um die andere Richtung
> zu zeigen müsste man das dann wie folgt aufschreiben?
>
> 1-x [mm]\le e^{-x}[/mm]
>
> 1-x [mm]\le -\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \le -\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{1-x}[/mm]
das ist falsch! [mm] e^{-x} \ne -e^x [/mm] also [mm] e^{-x} \ne-\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}
[/mm]
was somebody meinte, wenn du die erste Ungleichuung hast, das geht mit der Reihe, dann lässt du Reihe Reihe sein und hast für alle x [mm] 1+x1/e^x
[/mm]
anders geschrieben: [mm] 1/(1+x)>e^{-x} [/mm] jetzt x durch -x ersetzen und du hast die 2. Ungleichung .
Die hattest du aber schon auf andere Weise durch die geom. Reihe.
also kannst du das auch lassen.
für die erst Ungleichung hast du ja [mm] 1+x<1+x+x^2/2+x^3/3+....
[/mm]
jetzt musst du sagen, warum das für positive und negative x richtig ist.
für pos x ist es klar, weil da zu 1+x rechts nur noch pos Glieder addiert werden. für neg x werden auch noch neg, Glieder addiert. also brauchst du ein Argument dass das trotzdem größer bleibt als 1+x
[mm] x^2/2 [/mm] ist immer >0 der Rest ist dann in deinem Intervall klein.
Wenn ihr schon die Ableitungen von [mm] e^x [/mm] hattet kannst du auch anders argumentieren; 1+x ist di Tangente in 0, da f">0 ist die kurve überall nach oben gebogen, bleibt also über der Tangente.
Die rechte Ungl. mit dergeom. Reihe klappt auch immer.
Gruss leduart
> Ich wüsste nicht wie ich, dass da jetzt noch aufschreiben
> kann... eigentlich hab ich doch schon mehr oder weniger
> gezeigt, dass diese Abschätzung so korrekt ist...
>
> Gruß
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