EINE AUFGABE < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:43 Di 20.04.2004 | | Autor: | naser13 |
hallo ,ich habe eine frage und zwar:
Es sei k ein endlicher körper,zeigen sie
1- es gibt eine natürlichen zahl n>0,so dass n*1=1+1+1.......+1=0 gilt.
2- ist p>0 die kleinste natürliche zahl mit p*1=0,dann ist p eine primzahl.
bemerkung: die zahl p heisst die charakteristik von k und wird mit char(k)bezeichnet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 20.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
willkommen im Matheraum! 
Wir betrachten die Abbildung:
[mm]\varphi: \begin{array}{ccc} \IN & \to & \IK \\ n & \mapsto & n \cdot 1 \end{array}.[/mm]
Da [mm]\IK[/mm] endlich ist, gibt es in jedem Fall [mm]k,\, l \in \IN[/mm], [mm]k \ne l[/mm], mit
(*) [mm]k \cdot 1 = \varphi(k) = \varphi(l) = l \cdot 1.[/mm]
Ohne Einschränkung gelte: [mm]n:=k-l>0[/mm]. (Ansonsten wählen wir [mm]n':=l-k[/mm] und gehen analog vor.)
Dann folgt aus (*):
[mm]n \cdot 1 = (k-l)\cdot 1 = k\cdot 1 - l \cdot 1 = 0[/mm].
Die Existenz einer natürlichen Zahl [mm]n \ge 1[/mm] mit der Beziehung [mm]n\cdot 1[/mm] wäre damit bewiesen.
Es sei nun [mm]p \in \IN[/mm] die kleinste natürliche Zahl mit [mm]p \cdot 1 = 0[/mm].
Wäre [mm]p[/mm] nicht prim, dann gäbe es [mm]a,b\in \IN[/mm], [mm]1 < a,b < p[/mm], mit
[mm]p = a \cdot b[/mm]
und wir hätten:
[mm](a \cdot 1) \cdot (b \cdot 1) = (a\cdot b)\cdot 1 = p \cdot 1 = 0[/mm].
Da [mm]K[/mm] als Körper nullteilerfrei ist, folgt:
[mm]a\cdot 1 = 0[/mm] oder [mm]b \cdot 1 = 0[/mm].
In beiden Fällen hätten wir ein [mm]p'\in \IN[/mm] mit [mm]p'
Daher musste [mm]p[/mm] doch prim sein, und alles ist gezeigt.
Liebe Grüße
Stefan
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