EULER-Multiplikator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 So 22.06.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Es seien x>0 und y>0 vorausgesetzt.
Ermitteln Sie nun die Lösungsgesamtheit der Differentialgleichung
y*(lny+x+2x*lnx)+x*y'=0
unter Verwendung eines EULER-Multiplikators der Form M=M(y). |
Hallo,
das ist erst die zweite Differentialgleichung die ich lösen muss und ich bin mir etwas unsicher. Habe das mit dem Euler-Multiplikator noch nie gemacht und erstmal im Skript die Theorie gelesen und mit dieser die Aufgabe tatsächlich gelöst bekommen. Kann sich jemand mal bitte meine Lösung anschauen und mir sagen ob das so richtig ist bzw. ich alles richtig verstanden habe? Also:
Die Gleichung lautet:
y*(lny+x+2x*lnx)*dx+x*dy=0
Somit P(x,y)=y*(lny+x+2x*lnx) und Q(x,y)=x
Jetzt suche ich dieses M(y) um daraus eine exakte Differentialgleichung zu machen. Dazu habe ich eine Formel aus dem Skript wie folgt umgestellt:
[mm] M(y)=exp(\integral{\bruch{Q_{x}-P_{y}}{P} dy})
[/mm]
mit [mm] P_{y}=lny+x+2x*lnx+1 [/mm] und [mm] Q_{x}=1 [/mm] folgt
[mm] M(y)=exp(\integral{-\bruch{1}{y} dy})=\bruch{1}{y}
[/mm]
Die neue Differentialgleichung lautet:
[mm] (lny+x+2x*lnx)dx+(\bruch{x}{y})dy=0
[/mm]
Diese ist jetzt sogar exakt, weil [mm] P_{y}=Q_{x}=\bruch{1}{y} [/mm] gilt.
Also bis hierher erstmal Ziel erreicht 
Weieter weiß ich:
[mm] \bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)=\bruch{x}{y}
[/mm]
Daraus folgt
[mm] F(x,y)=x*\integral{\bruch{1}{y} dy}=x*lny+f(x)
[/mm]
Nun bleibt nur noch die Frage was denn f(x) ist.
Ich weiß aber, dass [mm] F_{x}(x,y)=lny+f'(x) [/mm] und gleichzeitig muss
[mm] F_{x}(x,y)=P(x,y) [/mm] sein, also folgt f'(x)= x+2x*lnx
Daraus folgt nun [mm] f(x)=x^2*lnx [/mm] (muss jetzt hier noch +c hin?)
Und somit komme ich zur Lösung:
F: [mm] x*lny+\bruch{1}{2}*x^2+x^2*lnx=const.
[/mm]
Stimmt das jetzt so???
Vielen Dank für das Kontrollieren!
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe als Lösung:
[mm] $F(x,y)=x*ln(y)+x^2*ln(x)+C$
[/mm]
weil ja
[mm] $\integral \bruch{x}{y}\;dy =\integral (ln(y)+x+2*x*ln(x))\;dx$
[/mm]
sein muss.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 22.06.2008 | | Autor: | dieanne |
Also stimmt erstmal der ganze Rest mit dem Euler-Multiplikator?
Woher hast du die Gleichung. Ich dachte
F(x,y)=x*lny+f(x) und
[mm] F_{x}(x,y)=lny+f'(x)=P(x,y)
[/mm]
Dann ist doch aber f'(x)= x+2x*lnx und somit [mm] f(x)=x^2*lnx
[/mm]
Dann ist [mm] F(x,y)=x*lny+x^2*lnx, [/mm] oder?
Oh, da seh ich gerade, dass du das ja hast. Ich hab mich vorhin vertippt, sorry.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also stimmt erstmal der ganze Rest mit dem
> Euler-Multiplikator?
Der Euler-Multiplikator ist richtig. Als Nicht-Mathematiker hätte ich ihn nur raten können.
> Woher hast du die Gleichung. Ich dachte
>
> F(x,y)=x*lny+f(x) und
>
> [mm]F_{x}(x,y)=lny+f'(x)=P(x,y)[/mm]
>
> Dann ist doch aber f'(x)= x+2x*lnx und somit [mm]f(x)=x^2*lnx[/mm]
>
> Dann ist [mm]F(x,y)=x*lny+x^2*lnx,[/mm] oder?
>
> Oh, da seh ich gerade, dass du das ja hast. Ich hab mich
> vorhin vertippt, sorry.
Kein Problem. Passiert mir auch öfter.
LG, Martinius
|
|
|
|
