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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 31.12.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Sei $X$ eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] $\mathbb{N}_0$. [/mm] Beweisen Sie die folgende Gleichung:
[mm] $\mathbb{E}(X) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty P(X\geqslant [/mm] n)$ |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe:
Ich muss ja einfach nur zeigen, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty k\cdot [/mm] P(X=k) [mm] \overset{!}{=} \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty [/mm] P(X = k) = [mm] \sum_{n=1}^\infty P(X\geqslant [/mm] n)$
"Intuitiv" ist mir das klar, denn es ist ja quasi
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty [/mm] P(X = k) = [mm] \sum_{k=1}^\infty [/mm] P(X = k) [mm] +\sum_{k=2}^\infty [/mm] P(X = k) + [mm] \dotsb$ [/mm]
und damit ergibt sich ja die gewünschte Identität, aber wie zeigt man diese Gleichheit formal, also was muss man mit den Indices anstellen, damit man beim richtigen Ergebnis herauskommt?
, und wie funktioniert das Ganze auch, wenn beide Seiten [mm] $=+\infty$, [/mm] was ja nicht ausgeschlossen ist. Umordnerei geht doch nur bei absolut konvergenten Summen ohne Probleme, oder
Falls ihr mir hierzu Tipps geben könntet, würde mir das ziemlich weiterhelfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Mi 01.01.2014 | | Autor: | luis52 |
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> "Intuitiv" ist mir das klar, denn es ist ja quasi
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty P(X = k) = \sum_{k=1}^\infty P(X = k) +\sum_{k=2}^\infty P(X = k) + \dotsb[/mm]
>
> und damit ergibt sich ja die gewünschte Identität,
Wieso folgt [mm] $=\sum_{k=1}^\infty [/mm] kP(X=k)=E(X)$ aus obiger Gleichung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mi 01.01.2014 | | Autor: | luis52 |
Addiere die Summanden der folgenden Summe spaltenweise:
| 1: |
| | 2: | P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+ ...
| | 3: | +P(X=2)+P(X=3)+ ...
| | 4: | +P(X=3)+ ...
| | 5: | +
| | 6: | .
| | 7: | .
| | 8: | .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Lustique |
> Addiere die Summanden der folgenden Summe spaltenweise:
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> | 1: |
| | 2: | > P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+ ...
| | 3: | > +P(X=2)+P(X=3)+ ...
| | 4: | > +P(X=3)+ ...
| | 5: | > +
| | 6: | > .
| | 7: | > .
| | 8: | > .
| | 9: | > |
Hallo Luis,
danke erst mal für deine Antwort. Ich habe da allerdings noch eine Frage: Im Grunde genommen hast du ja das gleiche gemacht, was ich auch geschrieben habe, nur hast du es so angeordnet, dass man viel besser sieht, worum es geht (RHS: Addition zeilenweise, LHS: Addition spaltenweise).
Reicht das denn nun als Lösung aus? Mir kommt das immer noch sehr unformal vor. Lassen sich die Summen nicht irgendwie direkt umstellen, indem man an den Indices herummanipuliert? Da ja alle Summanden nichtnegativ sind, sind Umordnungen ja kein Problem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mo 06.01.2014 | | Autor: | luis52 |
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> Reicht das denn nun als Lösung aus? Mir kommt das immer
> noch sehr unformal vor. Lassen sich die Summen nicht
> irgendwie direkt umstellen, indem man an den Indices
> herummanipuliert?
M.E. ist das dann offensichtlich, der aufgeklaerte Leser erkennt, was gemeint ist.
> Da ja alle Summanden nichtnegativ sind,
> sind Umordnungen ja kein Problem.
Wenn du dieses Argument noch bringst, wird o.g. Leser vollends ueberzeugt sein, dass du weisst, was du da tust.
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